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494. 目标和

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出：5
解释：

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

• 数组非空，且长度不会超过 20 。
• 初始的数组的和不会超过 1000 。
• 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

方法一

采用递归的方法暴力枚举

public class Solution {
    int count = 0;
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        calculate(nums, 0, 0, S);
        return count;
    }
    public void calculate(int[] nums, int i, int sum, int S) {
        if (i == nums.length) {
            if (sum == S)
                count++;
        } else {
            calculate(nums, i + 1, sum + nums[i], S);
            calculate(nums, i + 1, sum - nums[i], S);
        }
    }
}

方法二：0-1背包问题

使用dp[i][j] 表示前 i 个元素, 组成和为 j 的方案数量。状态方程如下

dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]]   // 当前的第i个数字, 选择+号
			+ dp[i - 1][j + nums[i]] // 当前的第i个数字, 选择-号

也可写成如下的形式

dp[i][j - nums[i]] += dp[i-1][j];
dp[i][j + nums[i]] += dp[i-1][j];

每个dp[i][] 只依赖于 dp[i-1][], 所以使用两个一维数组进行滚动即可。

public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
    int[] dp = new int[2001];
    dp[nums[0] + 1000] = 1;
    dp[-nums[0] + 1000] += 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int[] next = new int[2001];
        for (int sum = -1000; sum <= 1000; sum++) {
            if (dp[sum + 1000] > 0) {
                next[sum + nums[i] + 1000] += dp[sum + 1000];
                next[sum - nums[i] + 1000] += dp[sum + 1000];
            }
        }
        dp = next;
    }
    return S > 1000 ? 0 : dp[S + 1000];
}