62. 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
解题思路
这道题高中学过排列组合的就知道, 这是一道组合问题。比如M = 7, N = 3, 则总共需要向右走6步, 向下走2步, 何时向右走, 何时向下走, 就是所有的方案的组成的依据。答案就是C(M+N-2, N-1)
方法一： 数学排列组合
public int uniquePaths(int m, int n) {
long ans = 1;
for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
ans = ans * x / y;
}
return (int) ans;
}
方法二：动态规划
方法一运用数学知识简单快捷, 其实也可使用动态规划的方法, 状态转移方程如下：
[f(i, j)=f(i-1, j)+f(i, j-1)
]
某个位置的路径数 = 上边路径数 + 左边路径数。
从左到右, 从上往下填一张二维表格即可。
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] f = new int[m][n];
// 将边界初始化为1
for (int i = 0; i < m; ++i) {
f[i][0] = 1;
}
for (int j = 0; j < n; ++j) {
f[0][j] = 1;
}
// 接着计算里面的所有单元格
// 计算原则是 某个位置的路径数 = 上边路径数 + 左边路径数。
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
}
}
return f[m - 1][n - 1];
}