岭回归与Lasso回归模型

由于计算一般线性回归的时候，其计算方法是： p = (X’* X)**(-1) * X’ * y 很多时候 矩阵(X’* X)是不可逆的，所以回归系数p也就无法求解，
需要转换思路和方法求解：加2范数的最小二乘拟合（岭回归）

岭回归模型的系数表达式： p = (X’ * X )**(-1) *X’ *y

如何实现岭回归：

from sklearn.linear_model import Ridge,RidgeCV

Ridge用于构建岭回归模型、RidgeCV用于交叉验证求解Ridge回归模型的最佳参数。

岭回归解决了线性回归中矩阵X’X不可逆的问题，即添加l2正则的惩罚项，就是第2范数，最终导致模型回归系数的缩减，会保留所有变量，无法降低模型的复杂度。
为此：引入了Lasso回归；
目标函数： 

J§ = ((y-Xp)**2).sum() + lambda ||p||1 = ((y-Xp)**2).sum() + (lambda*abs§).sum()

lambda为惩罚项系数 ； ||p||1 表示所有回归系数绝对值的和。
实现Lasso:

from sklearn.linear_model import Lasso,LassoCV

LassoCV用于实现Lasso的交叉验证，通常用于求解最佳参数。Lasso用于构建Lasso回归模型。
Lasso回归与岭回归都是用于回归预测问题：

Lasso回归的简单应用：

数据集：糖尿病数据集，1个因变量、10个自变量；因变量含义：糖尿病指数，值越小说明糖尿病的治疗效果越好。

from sklearn.linear_model import Lasso,LassoCV
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import model_selection

读取数据：

# 读取糖尿病数据集
diabetes = pd.read_excel(r'diabetes.xlsx', sep = '')
# 构造自变量（剔除患者性别、年龄和因变量）
predictors = diabetes.columns[2:-1]
# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = model_selection.train_test_split(diabetes[predictors], diabetes['Y'], test_size = 0.2, random_state = 1234 )

寻找最佳lambda值所在的大概范围(如何都不合适则需要重新定义Lambdas)：

# 构造不同的Lambda值
Lambdas = np.logspace(-5, 2, 200)
# 构造空列表，用于存储模型的偏回归系数
lasso_cofficients = []

for Lambda in Lambdas:
    lasso = Lasso(alpha = Lambda, normalize=True, max_iter=10000)
    lasso.fit(X_train, y_train)
    lasso_cofficients.append(lasso.coef_)
    
# 绘制Lambda与回归系数的关系
plt.plot(Lambdas, lasso_cofficients)

# 对x轴作对数变换
plt.xscale('log')
# 设置折线图x轴和y轴标签
plt.xlabel('Lambda')
plt.ylabel('Cofficients')

# 显示图形
plt.show()

基于交叉验证找出最佳lambda值：

# LASSO回归模型的交叉验证
lasso_cv = LassoCV(alphas = Lambdas, normalize=True, cv = 10, max_iter=10000)
lasso_cv.fit(X_train, y_train)

# 输出最佳的lambda值
lasso_best_alpha = lasso_cv.alpha_
lasso_best_alpha

基于最佳参数进行建模：

from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 基于最佳的lambda值建模
lasso = Lasso(alpha = lasso_best_alpha, normalize=True, max_iter=10000)
lasso.fit(X_train, y_train)

# 返回LASSO回归的系数
pd.Series(index = ['Intercept'] + X_train.columns.tolist(),data = [lasso.intercept_] + lasso.coef_.tolist())

使用模型进行预测：

# 预测
lasso_predict = lasso.predict(X_test)
print(lasso_predict)
# 预测效果验证
RMSE = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,lasso_predict))
RMSE

RMSE得到是:53.0487…
我使用线性回归得到是53.4…,岭回归的是,53.12…相对于线性回归以及岭回归来说，还行。
希望大家给予意见和建议。谢谢。