专题：分治法

• 分治法（Divide and Conquer）
  

　　　　作为五大算法之一的分治法，可算是最早接触的一种算法。分治法，与其说是一种算法，不如将其称为策略来的更贴切一些。算法的思想就是将大问题分成小问题，并解决小问题之后合并起来生成大问题的解。

　　　　分治法的精髓：

　　　　　　分--将问题分解为规模更小的子问题；

　　　　　　治--将这些规模更小的子问题逐个击破；

　　　　　　合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

　　　　分治法的作用，自然是让程序更加快速地处理问题。比如一个n的问题分解成两个n/2的问题，并由两个人来完成，效率就会快一些。当然单线程的程序的分治法，就是把n的问题剔除掉可以省略的步骤，从而提高程序运行的速度。

               　　                                           

• 二分法（Bisection）

　　　　二分法针对于有序集合的处理来说显得比按序遍历来得更快一些。记得有次我读到一篇处理问题的博客：有一个城市到另一个城市之间的电杆不通电了，该如何排查？作为常用思维大概就是逐个去查了，如果能确定两地间的电杆是串联的节点，那么二分法显然是比较有效率的，因为它跳过了很多不必要排查的电杆。

　　　　我们一般使用二分法去寻找一个流中的特定的数。比如查找有序数列中是否存在一个数，或者使用二分法求一个数的根号。

　　　　1.找数字

　　　　　　假设我们需要在1-10000里面找一个数200，使用逐个搜索的方法，我们会消耗200步。如果计入小数的画，恐怕就大大超过200这个消耗了。

　　　　　　假如使用二分法：

　　　　　　　　第一步我们找到1-10000中间的那个数：5000。它大于200，所以200应该在1-4999这个区间内，这样我们就丢掉了后5000个数。

　　　　　　　　第二步我们找到2500，也比200要大，200在1-2500这个区间内。

　　　　　　　　第三步找到1250这个数，也比200大。

　　　　　　　　第四步找到750。

　　　　　　　　第五步找到375。

　　　　　　　　第六步找到167，它比200要小了，说明200在167-375之间。

　　　　　　　　第七步找到271，它在167-271之间。

　　　　　　　　第八步找到219，它在167-219之间。

　　　　　　　　第九步找到193，它在193-219之间。

　　　　　　　　第十步找到206，它在193-206之间。

　　　　　　　　第十一步找到199，它在199-206之间。

　　　　　　　　第十二步找到202，它在199-202之间。

　　　　　　　　第十三步找到200。

　　　　　　在n=10000的这个问题来讲，从200步到13步是一个很大的改进。如果我在这里写200步，那我肯定是傻了。

　　　　　　使用二分法找数组中的一个值的下标，如果没有找到则返回-1

int index=-1;
public void BisectionFind(int a[],int l,int r,int target){
		if(l<r){
			int mid=(l+r)/2;
			if(a[mid]<target)
				BisectionFind(a,mid+1,r,target);
			else if(a[mid]>target)
				BisectionFind(a, l, mid-1, target);
			else
			{
				index=mid;
				return;
			}
			
		}
	
		
		
}

	public static void main(String[] args)
	{
		SqrtDemo sq=new SqrtDemo();
		int a[]={5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92};
		sq.BisectionFind(a, 0, a.length-1, 21);
		System.out.println(sq.index);
		
		
		
	}

　　

　　　　

　　　　2.求根号

　　　　　　对于我来说，最早接触的有序数列大概就是数轴了，要在数轴上找到一个根号的具体值，就是从数轴上找一个数乘以自己看是否在所求数字的周围。如果精确度可以接受的话，那么就采用这个值为这个数的根号的近似值。

　　　　　　这回我们舍弃的是半个数轴，半个数轴按照精确度的不同，它会产生不同的复杂度。所以二分法的效率，远远高于按序查找。

　　　　　　

public double sqrt1(double number,double precision){
		double up=(number>1?number:1);
		double down=0;
		double n;
		int time=0;
		while(true){
			n=(down+up)/2;
			if(n*n-number<precision && n*n-number>=0)
				break;
			else if(n*n-number>precision)
				up=n;
			else if(n*n-number<0)
				down=n;
			time++;
			System.out.println(n);
		}
		System.out.println("time="+time);
		return n;
	}

		SqrtDemo sq=new SqrtDemo();
		System.out.println(sq.sqrt1(10, 0.001));

　　

 　　上面两种问题，它们能确定这个问题的解就在序列的内部，所以它们在执行的时候都转换成了寻找子问题的解。在不断分割问题的过程中，问题的复杂度急剧下降，效率大大地提高了。

　　　　

• 快速排序（QuickSort）

　　　　经典的分治法案例，在乱序数组中做到了O（nlogn）的效率，对冒泡法（O（n*n））的一个很大的改进。

　　　　快速排序的步骤：1.寻找一个基准元素

　　　　　　　　　　　　2.从右向左寻找大于（小于）基准元素的值

　　　　　　　　　　　　3.从左向右寻找小于（大于）基准元素的值

　　　　　　　　　　　　4.使得基准元素左边都是小于（大于）它的元素，右边都是大于（小于）它的元素

　　　　　　　　　　　　5.递归的处理基准元素左边与右边的模块

　　　　

C++版

int Partition1(int a[],int i,int j){
    int start=i;
    int end=j;
    int x=a[i];
    while(start<end){
        while(a[end]>=x && end>start)
            end--;
        swap(a[start],a[end]);
        while(a[start]<=x && end>start)
            start++;
        swap(a[start],a[end]);
    }
    cout<<"中心位置："<<start<<endl;
    return start;
}
void quickSort1(int a[],int p,int r){
    if(p<r)
    {
        int x=Partition1(a,  p, r);
        quickSort1(a, p, x-1);
        quickSort1(a, x+1, r);
    
    }

}

Java版

public int Partition(int a[],int p,int r){
		int start=p;
		int end=r;
		int x=a[p];
		while(start<end){
			while(start<end && a[end]>=x)
				end--;
			if(start<end)
				a[start++]=a[end];
			while(start<end && a[start]<=x)
				start++;
			if(start<end)
				a[end--]=a[start];
			
		}
		a[start]=x;
		return start;
	}
	public void quickSort(int a[],int i,int j){
		if(i<j){
			int p=Partition(a, i, j);
			quickSort(a, i, p-1);
			quickSort(a, p+1, j);
		}
		
	}

Python版

def Partition(a,p,r):
    x=a[p]
    i=p
    j=r
    while(1):
        while(1):
            if(a[i]<=x and i<len(a)-1):
                i=i+1
            else:
                break
        while(1):
            if(a[j]>=x and j>0):
                j=j-1
            else:
                break
        if(i>=j):
            break
        else:
            a [j], a [i] = a [i], a [j]

    a[p]=a[j]
    a[j]=x
    return j


def quickSort(a,i,j):
    if(i<j):
        p=Partition(a,i,j)
        quickSort(a,i,p-1)
        quickSort(a,p+1,j)


def PartitionDemo(a,p,r):
    x=a[p]
    start=p
    end=r
    while start<end :
        while start<end and a[end]>=x :
            end-=1
        while start<end and a[start]<x :
            a[start]=a[end]
            start+=1
            a[end]=a[start]
    a[start]=x
    return start

def quickSortDemo(a,i,j):
    if(i<j):
        q=PartitionDemo(a,i,j)
        quickSortDemo(a,i,q-1)
        quickSortDemo(a,q+1,j)



a=[9,5,2,4,7,3,6,8,15,18,11,13]
quickSortDemo(a,0,len(a)-1)

print a

• 归并排序（MergeSort）

　　　　作为经典排序算法，使用分治策略，归并排序无疑是最能体现分治思想并且易于理解的一种算法。它在排序之前先将序列分割成最短为1的小数组。当长度为1的时候，数组无疑是有序的。合并的时候就如树形结构逆着生成根节点一样，子问题排序、合并，最终生成一个有序的数组。

　　　　

C++版

void merge(int a[],int b[],int p,int mid,int r){

    int i=p;
    int j=mid+1;
    int t=p;
    while(i<=mid && j<=r){
        if(a[i]<a[j])
            b[t++]=a[i++];
        else if(a[j]<=a[i])
            b[t++]=a[j++];
    }
    if(i!=mid)
        while(t<=r)
            b[t++]=a[j++];
    else
        while(t<=r)
            b[t++]=a[i++];
    
    for(i=p;i<=r;i++)
        a[i]=b[i];
    

}
void MergeSort(int a[],int b[],int start,int end){
    if(start<end){
        int mid=(start+end)/2;
        MergeSort(a,b,start,mid);
        MergeSort(a,b,mid+1,end);
        merge(a,b,start,mid,end);
    
    }

}

Java版

	public void merge(int a[],int b[],int start,int mid,int end){
		int i=start;
		int j=mid+1;
		int k=start;
		while(i<=mid && j<=end){
			if(a[i]<=a[j])
				b[k++]=a[i++];
			else
				b[k++]=a[j++];
			
		}

		
		while(i<=mid)
			b[k++]=a[i++];
		while(j<=end)
			b[k++]=a[j++];
		
		for(i=start;i<=end;i++)
			a[i]=b[i];
		
		
	}
	public void MergeSort(int a[],int b[],int start,int end){
		if(start<end)
		{
			int mid=(start+end)/2;
			MergeSort(a,b,start,mid);
			MergeSort(a,b,mid+1,end);
			merge(a,b,start,mid,end);
			
		}
		
	}

• 总结

　　　　分治法作为一个比较重要的算法，思想的理解来说还是比较简单的。但是它写起代码来确实有些许抽象。从C++到java再到python，虽然我一直按照着它的思想来写，但是不同语言的实现确实有些小小的区别。至今我还描述不出来，但是这给我提了个醒，学算法一定要做题！不仅地把经典算法的实现老老实实写出来，还要认真地体会它的细节，不停在脑子里画出程序的执行结构图，使之形成习惯。