大致题意： 求有多少对长度为(n)、字符集大小为(k)的字符串(A,B)，满足(A)与(B)循环同构。
容斥
一个显然的结论，对于一个字符串(A)，能与它同构的(B)的个数等于(A)的循环节长度。
考虑求出(f(i))表示最小循环节长度为(i)的字符串个数，答案就是(sum f(i) imes i)。
但最小这个限制显然很棘手，于是我们就用容斥，发现(f(i)=k^i-sum_{j|i}f(j))。
然后，还有一个明显的性质，合法循环节长度必然是(n)的因数。
而(10^9)范围内因数最多的数也只有(1344)个因数。
于是复杂度就是(O(1344^2))。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define S 1344
#define X 1000000007
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
#define Dec(x,y) ((x-=(y))<0&&(x+=X))
using namespace std;
int n,k,t,p[S+5],f[S+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()
{
RI i;for(scanf("%d%d",&n,&k),i=1;i*i<=n;++i) !(n%i)&&(p[++t]=i,i^(n/i)&&(p[++t]=n/i));//存下因数
RI j;for(sort(p+1,p+t+1),i=1;i<=t;++i)//枚举循环节长度
for(f[i]=QP(k,p[i]),j=1;j^i;++j) !(p[i]%p[j])&&Dec(f[i],f[j]);//容斥
RI ans=0;for(i=1;i<=t;++i) ans=(1LL*f[i]*p[i]+ans)%X;return printf("%d
",ans),0;//统计答案并输出
}