- 给定(n)，求关于(x,y)的方程(x^2+3y^2=n^2)整数解个数。
- 数据组数(le10,nle10^{12})
这道题被某毒瘤出题人搬去当学校(CSP)模拟赛的题目了。
本来半个多小时就做出来了，结果因为一个i*i没转long long，极限数据直接死循环T飞。
害得我一直以为自己式子没推完，复杂度不正确，整整搞了两个多小时，幸好最后几分钟发现问题改了出来。。。
这里写篇题解纪念一下。
基本技巧
首先，(x=±n,y=0)这两组解显然对于任意(n)恒成立，而(x=0)时显然找不到整数解。
然后若非零的((x,y))为一组解，则((x,-y),(-x,y),(-x,-y))显然都是解。
所以我们只要求出(x>0,y>0)时的解数，乘(4)加(2)就是答案了。
推式子
考虑(n^2)是一个很大的数，令(a=n-x)，则原式变成：
[(n-a)^2+3y^2=n^2Leftrightarrow -2na+a^2+3y^2=0Leftrightarrow 3y^2={a(2n-a)}
]
设(d=gcd(a,2n-a)=gcd(a,2n))。
如果我们把(a,2n-a)两式同除以(d)，那么得到的(frac ad,frac{2n-a}d)必然互质。
互质的两数相乘是一个平方数的(3)倍，则这两个数必然一个是平方数，一个是某平方数的(3)倍。
不妨设(frac ad=3i^2,frac{2n-a}d=j^2(i,jin N^*,gcd(3i,j)=1))，发现：
[frac ad+frac{2n-a}d=3i^2+j^2Leftrightarrow frac{2n}d=3i^2+j^2
]
显然如果设(frac ad=j^2,frac{2n-a}d=3i^2)也会得到一样的结果。（注意这里方案数不用乘(2)，因为(a<2n-a)，二者无法互换）
故考虑去枚举所有的(d|(2n))，既然枚举了所有(d)，那么这个式子其实也可以变成求(d=3i^2+j^2)符合条件的(i,j)的解数。
因此，只要再在(sqrt{frac d3})范围内去枚举(i)，判断是否有对应的符合条件的(j)即可求出总解数了。
时间复杂度大概是(O(Tn^{frac 34}))（这也是我一直以为自己式子没推完的原因），看起来很假，但实际上显然跑不满。
代码：(O(Tn^{frac 34}))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
#define S 1000000
using namespace std;
int A,B;LL ans,n,a[S+5],b[S+5];
I LL gcd(Con LL& x,Con LL& y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
I void Work(Con LL& d)//求3i^2+j^2=d的符合条件的解数
{
LL x,y;for(RI i=1;(x=3LL*i*i)<d;++i)//暴枚i
y=sqrt(d-x),x+y*y==d&&gcd(i,y)==1&&y%3&&(ans+=4);//存在对应的j，且gcd(3i,j)=1
}
int main()
{
RI Tt,i;scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
{
for(scanf("%lld",&n),ans=2,i=1;1LL*i*i<=2*n;++i)//暴枚2n的因数
!(2*n%i)&&(Work(i),i^(2*n/i)&&(Work(2*n/i),0));printf("%lld
",ans);
}return 0;
}