【CF436E】Cardboard Box（贪心）

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• 有(n)个关卡，每个关卡你可以不进行任何操作，或花费(a_i)的代价获得一颗星，或花费(b_i)的代价获得两颗星。
• 求获得至少(w)颗星的最小代价，并构造一种方案。
• (nle3 imes10^5)，(forall i,a_i<b_i)

贪心+舍弃操作

暂且不考虑恰好获得(w)颗星，而是仅考虑以最优策略去贪心，由于一次最多获得两颗星，因此最终也最多比(w)多出一颗星，只要略作调整即可。

接下来的问题就是什么是我们的最优策略：

• 如果(2a_ile b_i)，那么可以把这个关卡拆成两个一星关卡，分别需要(a_i,b_i-a_i)的代价。
• 如果(2a_i>b_i)，那么最优策略肯定是将两星绑定一起选择。

于是只要按代价排个序，直接贪心选择即可。

如果恰好能选到(w)颗星就直接结束了，否则我们实际上可以舍弃一颗星，无非以下几种可能：

• 不进行最后一次选择，去一个未操作过的关卡获得一颗星（代价(a_i)），或去一个获得过一颗星的关卡获得第二颗星（代价(b_i-a_i)）。
• 进行最后一次选择（假设代价为(xx)），去一个获得过一颗星的关卡放弃这颗星（代价(xx-a_i)），或去一个获得过两颗星的关卡放弃第二颗星（代价为(xx-(b_i-a_i))）。

由于这个舍弃操作只需执行一次，直接暴力枚举过所有关卡即可。

代码：(O(nlogn))

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 300000
#define LL long long
using namespace std;
int n,w,a[N+5],b[N+5],c[N+5];
struct Data
{
	int p,x,c;I Data(CI i=0,CI a=0,CI b=0):p(i),x(a),c(b){}
	I bool operator < (Con Data& o) Con {return x*o.c<o.x*c;}
}s[2*N+5];
namespace FastIO
{
	#define FS 100000
	#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
	char oc,FI[FS],*FA=FI,*FB=FI;
	Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}using namespace FastIO;
int main()
{
	RI i,t=0;for(read(n,w),i=1;i<=n;++i) read(a[i],b[i]),
		2*a[i]<=b[i]?(s[++t]=Data(i,a[i],1),s[++t]=Data(i,b[i]-a[i],1)):s[++t]=Data(i,b[i],2);//根据2*a[i]和b[i]的关系拆分关卡
	RI g=0;LL ans=0;for(sort(s+1,s+t+1),i=1;i<=t;++i) if((g+=s[i].c)>=w) break;else c[s[i].p]+=s[i].c,ans+=s[i].x;//贪心选择
	RI tp=s[i].p,tx=a[s[i].p],pp=s[i].p,xx=s[i].x;if(g==w) {c[pp]+=s[i].c,ans+=xx;goto End;}//如果恰好w无需犹豫
	#define F5(p,x) (tx>x&&(tp=p,tx=x))
	for(i=1;i<=n;++i) !c[i]&&F5(i,a[i]),c[i]==1&&(F5(i,b[i]-a[i]),F5(-i,xx-a[i])),c[i]==2&&F5(-i,xx-(b[i]-a[i]));//枚举关卡获得一颗星，或获得两颗星后舍弃一颗星
	if(tp>0) {++c[tp],ans+=tx;goto End;}c[pp]+=2,--c[-tp],ans+=tx;//更新最优解的方案
	End:for(printf("%lld
",ans),i=1;i<=n;++i) putchar(48|c[i]);return 0;
}