前言：什么是莫队
莫队算法，是一个十分优雅的暴力。
普通的莫队可以轻松解决一些离线问题，但是，当遇上了一些有修改操作的问题，普通莫队就无能为力了。
于是，改进后的莫队——带修莫队就这样产生了。
接下来，我们一起在普通莫队的基础之上，学会带修莫队这个强大无比的算法。
第一个问题：如何处理修改
既然是带修莫队，那么第一个关键问题就是如何处理修改。
其实，我们可以增加一个变量，来记录对于每一个询问操作，在进行询问之前一共进行了多少次修改，然后对于每一次询问，只要像普通莫队的(L)指针和(R)指针一样新增一个(K)指针来表示当前进行了多少次修改，而(K)指针的移动也与(L)指针和(R)指针是类似的。
模板如下：
register int L=0,R=0,K=0,ans=0;
for(sort(q+1,q+q_num+1,cmp),i=1;i<=q_num;++i)
{
while(K<q[i].k) Change(++K);
while(K>q[i].k) Change(K--);
while(R<q[i].r) Add(++R);
while(L>q[i].l) Add(--L);
while(R>q[i].r) Del(R--);
while(L<q[i].l) Del(L++);
res[q[i].pos]=ans;
}
而(Change())函数、(Add())函数和(Del())函数里面的内容自己视题意而定。
第二个问题：如何写排序函数
现在加上了一个(k)变量来表示在每个询问之前进行了几次操作。
那么，现在的排序函数(cmp())应该怎么写呢？
首先，应该判断(l)是否在同一块内，如果相同，就返回(pos[x.l]<pos[y.l])。
然后，应该判断(r)是否在同一块内，如果相同，就返回(pos[x.r]<pos[y.r])。
最后，再比较(k)的大小，即返回(x.k<y.k)。
模板如下：
inline bool cmp(Query x,Query y)
{
if(pos[x.l]^pos[y.l]) return pos[x.l]<pos[y.l];//判断l是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.l]<pos[y.l]
if(pos[x.r]^pos[y.r]) return pos[x.r]<pos[y.r];//判断r是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.r]<pos[y.r]
return x.k<y.k;//比较k的大小，即返回x.k<y.k
}
第三个问题：块的大小
学过莫队的人应该都知道，莫队算法需要分块。
那么带修莫队块的大小应该是多少呢？
我们就需要对这个算法的时间复杂度进行一波分析。
首先我们假设块的大小为(n^x)（其中(0<x<1)），并假设(m)的大小与(n)差不多。
那么我们分别考虑3个指针的移动：
-
对于(L)指针
- 在块内移动时，每一次移动的复杂度应为(O(n^x))，由于共有(m)次询问，因此总复杂度为(O(n^{x+1}))。
- 到下一个块时，每一次移动的复杂度应为(O(n^x))，由于块的大小为(O(n^x))，因此总块数为(O(frac n{n^x}))，因此总复杂度为(O(n))。
(∴L)指针的总复杂度为(O(n^{x+1}))。
-
对于(R)指针
- (L)和(R)全都在块内移动时，每一次移动的复杂度应为(O(n^x))，由于这样的情况共有(O((frac n{n^x})^2))，即(O(n^{2-2x}))次，因此总复杂度为(O(n^{2-x}))。
- (L)块相同且(R)到下一块时，每一次移动的复杂度应为(O(n^x))，由于总块数为(O(frac n{n^x}))，即(O(n^{1-x}))，因此总复杂度为(O(n^{2-x}))
- (L)指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为(O(n))，由于这样的情况共有(O(frac n{n^x}))，即(O(n^{1-x}))次，因此总复杂度为(O(n^{2-x}))。
(∴R)指针的总复杂度为(O(n^{2-x}))。
-
对于(K)指针
- (L)和(R)全都在块内移动时，此时(K)指针应该是递增的（因为排序时对于这样的情况我们(return) (x.k<y.k)），所以总复杂度为(O(n))。
- (L)块相同且(R)到下一块时，每一次移动的复杂度应为(O(n))，由于这样的情况有(O(n^{2-2x}))次，因此总复杂度为(O(n^{3-2x}))。
- (L)指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为(O(n))，由于这样的情况共有(O(n^{1-x}))次，因此总复杂度为(O(n^{2-x}))。
(∴K)指针的总复杂度为(O(n^{max(2-x,3-2x)}))。
综上所述，算法的总时间复杂度应为(O(n^{max(x+1,2-x,3-2x)}))，那么我们的目的就是找到一个(x)（(0<x<1)）使(max(x+1,2-x,3-2x))最小。
此时的(x)应取(frac23)，所以块的大小就是(O(n^{frac23}))。
第四个问题：时间复杂度
呃，我想这个问题应该已经在上个问题中解决了。
带修莫队的时间复杂度应为(O(n^{frac53}))。
例题
带修莫队这样差不多就讲完了，下面给一道例题：