【2019.8.20 NOIP模拟赛 T2】小B的树（tree）（树形DP）

树形(DP)

考虑设(f_{i,j,k})表示在(i)的子树内，从(i)向下的最长链长度为(j)，(i)子树内直径长度为(k)的概率。

然后我们就能发现这个东西直接转移是几乎不可能的。

所以我们在转移时要开个辅助数组(s_{op,x,y,k})，其中(op)用于滚存，表示最长链为(x)，次长链为(y)，子节点子树内直径长度小于等于(k)的概率。

然后我们只要枚举子节点，再枚举子节点子树内的链长，就可以采用刷表法简便地(DP)转移了。

这样看似(O(n^5))，但如果你采用了记(Size)优化转移上界的方法，根据树上背包的复杂度，这里应该是(O(n^4))的 。

最后我们更新(f_{x,i,max(i+j,k)})加上(s_{op,i,j,k}-s_{op,i,j,k-1})。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int 
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 60
#define DB double
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))
using namespace std;
int n,ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt;}e[N<<1];
class DpSolver
{
	private:
		int g[N+5],l[N+5];DB f[N+5][2*N+5][2*N+5],s[2][2*N+5][2*N+5][2*N+5];
		I void DP(CI x,CI lst)
		{
			RI i,j,k,p,q,op;DB t,v;
			for(g[x]=1,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&(DP(e[i].to,x),g[x]+=g[e[i].to]);//DP子节点
			for(i=0;i<=2*g[x];++i) s[0][0][0][i]=1;//初始化
			for(op=0,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) if(e[i].to^lst)//枚举子节点
			{
				for(j=0;j<=l[e[i].to];++j) for(k=1;k<=2*g[x];++k) f[e[i].to][j][k]+=f[e[i].to][j][k-1];//处理前缀和，方便转移
				for(op^=1,j=0;j<=l[x];++j) for(k=0;k<=j;++k) for(p=0;p<=2*g[x];++p)//枚举当前状态
				{
					t=s[op^1][j][k][p],s[op^1][j][k][p]=0;//记下当前状态，注意清空原先数组
					for(q=0;q<=l[e[i].to];++q) v=0.5*t*f[e[i].to][q][p],//枚举子树内最长链
						q+1>j?(s[op][q+1][j][p]+=v):(q+1>k?s[op][j][q+1][p]+=v:s[op][j][k][p]+=v),//如果这条边长度为1
						q+2>j?(s[op][q+2][j][p]+=v):(q+2>k?s[op][j][q+2][p]+=v:s[op][j][k][p]+=v);//如果这条边长度为2
				}Gmax(l[x],l[e[i].to]+2);
			}
			for(i=0;i<=l[x];++i) for(j=0;j<=i;++j) for(k=2*g[x];~k;--k)//枚举状态
				f[x][i][max(i+j,k)]+=s[op][i][j][k]-(k?s[op][i][j][k-1]:0),s[op][i][j][k]=0;//将状态更新到f数组中，并清空
		}
	public:
		I void Solve()
		{
			RI i,j;DB ans=0;DP(1,0);//树形DP
			for(i=0;i<=l[1];++i) for(j=i;j<=2*g[1];++j) ans+=f[1][i][j]*j;//统计答案
			printf("%.8lf",ans);//输出答案
		}
}D;
int main()
{
	freopen("tree.in","r",stdin),freopen("tree.out","w",stdout);
	RI i,x,y;for(scanf("%d",&n),i=1;i^n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);//读入建边
	return D.Solve(),0;
}