前言
狄利克雷卷积可以算是数论中的一个比较重点的内容吧。
它有许多作用，例如证明莫比乌斯反演定理。
同时，它也是杜教筛等玄学算法的基础。
关于积性函数
要学习狄利克雷卷积，就得先对积性函数有一定的了解。
关于积性函数可以看一下这篇博客：关于积性函数的一些知识。
定义
我们通常定义(f*g=sum_{d|n}f(d)·g(frac nd))。
性质
与乘法类似，狄利克雷卷积也满足三大运算律：交换律、结合律和分配律。
这应该还是比较显然的，无需证明吧。
应用：证明莫比乌斯反演定理
接下来，我们来看一下狄利克雷卷积的一个应用：证明莫比乌斯反演定理。
真感觉用狄利克雷卷积来证明莫比乌斯反演定理也不是很难理解。
如果你不知道什么是莫比乌斯反演定理，可以去看一下这篇博客：初学莫比乌斯反演。
下面是关于它的证明：
由于莫比乌斯函数的性质，所以：
[sum_{d|n}mu(d)=[n==1]
]
而我们知道，有一个叫做元函数的积性函数(e(n))，它的定义是：
[e(n)=[n==1]
]
不难发现，这两个式子右边是一样的。
于是就容易想到用(I)去卷(mu)，得到这样一个结论：
[mu*I=e
]
有了这个结论，下一步就是证明莫比乌斯反演定理了。
根据莫比乌斯反演中(F(n))和(f(d))两个函数的定义，我们可知：
[F(n)=sum_{d|n}f(d)
]
然后就不难想到把它转换成狄利克雷卷积的形式，即：
[F=f*I
]
可以考虑将等式两边个卷上一个(mu)，此时等式依然成立：
[F*mu=f*I*mu
]
然后就不难发现这样做的意义了：等式右边出现了(mu*I)。而根据上面得到的结论，我们又可以知道，(mu*I=e)，又由于(f)卷(e)之后依然为(f)，于是原式就被转化成了这样：
[F*mu=f
]
再将它转化回来，就变成了这样：
[f(d)=sum_{d|n}mu(d)·F(frac nd)
]
于是就证明完了。
后记
狄利克雷卷积其实还可以干很多事情，如证明(phi)函数的某些性质。
但是我对(phi)函数还是不够熟悉，所以这里就不多介绍了。