浅谈高维前缀和

前言

高维前缀和听起来是个很高级的东西，其实也挺简单的。

应该说，它就是利用了状压的思想吧。

朴素算法

考虑朴素情况下，要求一个(k)维前缀和该怎么做？

开(k)维数组啊。

比如当(k=1)时，我们会这么写：

for(int i=1;i<=n;++i) s[i]+=s[i-1];

又比如(k=2)时，我们会这么写：

for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) s[i][j]+=s[i][j-1];
for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) s[i][j]+=s[i-1][j];

（当然，(k=2)时还有容斥写法，这里就不说了，因为在扩展到高维后容斥会爆炸。）

于是，我们就发现，以(s_{i,j})为例，其实每次就相当于枚举某一维，然后将它加上这一维减(1)位置上(s)的值，即(s_{i,j-1})或者(s_{i-1,j})。

高维前缀和

考虑一下状压，例如对于一个三维前缀和(s_{i,j,k})，(0le i,j,k<p)，那么我们就可以把它压成(s_{ip^2+jp+k})。

然后我们同样枚举每一维，其实就是枚举一个(p^x(0le x<3))，然后在(0sim p^3-1)范围内枚举(s_i)，若(i)第(x)维上值大于(0)，我们就可以将它加上(s_{i-p^x})。

这个思路应该是比较简单的吧。

代码

for(int k=1;k<=n;k*=p) for(int i=0;i<=n;++i) (i/k)%p&&(s[i]+=s[i-k]);//模板