(LGV)引理
定义(w(P))为有向路径(P)上所有边权的乘积，并定义(f(a,b))表示(a ightarrow b)的所有有向路径边权乘积之和，即：
[f(a,b)=sum_{P:a
ightarrow b}w(P)
]
列出一个矩阵：
[M=egin{bmatrix}
f(a_1,b_1)&f(a_1,b_2)&cdots&f(a_1,b_n)\
f(a_2,b_1)&f(a_2,b_2)&cdots&f(a_2,b_n)\
vdots&vdots&ddots&vdots\
f(a_n,b_1)&f(a_n,b_2)&cdots&f(a_n,b_n)
end{bmatrix}
]
对于(A ightarrow B)的一个不交路径集合(P_{1sim n})，其中(P_i)表示从(a_i)到(b_{sigma(P)_i})的一条路径（(sigma(P))是(P)对应的一个排列）。
然后对一个排列(sigma)定义(sgn(sigma))，当(sigma)中逆序对个数为偶数时(sgn(sigma)=1)，为奇数时(sgn(sigma)=-1)。
则满足：
[det(M)=sum_{P:A
ightarrow B}sgn(sigma(P))prod_{i=1}^nw(P_i)
]
路径不交问题
一种比较常见的题型，是求从每个(a_i)到(b_i)，在满足路径不交的前提下，所有方案中路径边权乘积之和。
则根据行列式的计算式发现：
[det(M)=sum_{sigma}sgn(sigma)prod_{i=1}^nf(a_i,b_{sigma(i)})
]
考虑如果两个人的路径相交了，我们可以将相交后的部分取反，就相当于这两人分别走到了对方的终点去。
因此，我们可以把这当作一个容斥问题看待，即枚举一个排列(sigma)表示每个人走到了谁的终点去。
然后发现容斥系数是(sgn(sigma))，也就是说这个(det(M))其实就是答案。
模板题解法
- 给定一张(n imes m)的棋盘，每次只能向右或向下走一步。
- 有(m)个棋子，分别要从((a_i,1))走到((b_i,n))，求路径不交的方案数。
- (nle10^6,mle100)
超级简化版。
相当于每条路径边权都是(1)，那么(f(a_i,b_j))实际上就是从((a_i,1))走到((b_j,n))的方案数。
这应该算是个经典组合数问题，显然就是(C_{n-1+b_j-a_i}^{n-1})。
代码：(O(n+m^3))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000000
#define M 100
#define X 998244353
#define C(x,y) (1LL*Fac[x]*IFac[y]%X*IFac[(x)-(y)]%X)//组合数
using namespace std;
int n,m,a[M+5],b[M+5];I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int Fac[2*N+5],IFac[2*N+5];I void InitFac(CI S)//预处理阶乘和阶乘逆元
{
RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=S;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;
for(IFac[i=S]=QP(Fac[S],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;
}
namespace G//高斯消元
{
int a[M+5][M+5];I int Det(CI n)//求解行列式
{
RI i,j,k,t,s=1;for(i=1;i<=n;s=1LL*s*a[i][i]%X,++i)
{
if(!a[i][i]) {for(s=X-s,j=i+1;j<=n&&!a[j][i];++j);for(k=i;k<=n;++k) swap(a[i][k],a[j][k]);}
for(j=i+1;j<=n;++j) for(t=1LL*(X-a[j][i])*QP(a[i][i],X-2)%X,k=i;k<=n;++k) a[j][k]=(a[j][k]+1LL*t*a[i][k])%X;
}return s;
}
}
int main()
{
RI Tt,i,j;InitFac(N<<1),scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
{
for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d",a+i,b+i);
for(i=1;i<=m;++i) for(j=1;j<=m;++j) G::a[i][j]=a[i]<=b[j]?C(n-1+b[j]-a[i],n-1):0;//组合数计算路径数
printf("%d
",G::Det(m));
}return 0;
}