前言
拉格朗日插值,是一个根据(n)个点确定唯一的(n-1)次多项式,然后(O(n^2))单点求值的算法。
它听起来好像很玄学、很高级,实际上很容易理解,毕竟我这种蒟蒻都看得懂。
拉格朗日插值
设多项式为(f(x)),已知(n)个点,坐标为((x_i,y_i))。现在要求(f(k))的值。
下面我们直接给出拉格朗日插值的基本公式:
[f(k)=sum_{i=1}^ny_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}}
]
证明如下:
- 它一看就是一个(n-1)次多项式。
- 当(k=x_p)时:若(p≠i),则存在某一时刻(p=j),那么这时(k-x_j)值就为(0),此时的(y_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=0);若(p=i),则(k-x_j=x_i-x_j⇒frac{k-x_j}{x_i-x_j}=1),那么此时的(y_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=y_i)。故将任意(x_p)代入都可以得到(f(x_p)=y_p)。
- 综上所述,这个函数是正确的。
这也就是一般的拉格朗日插值的全部内容了。
具体实现(板子题)
class Lagrange//拉格朗日插值
{
public:
I int GV(CI n,CI k,int *x,int *y)//插值
{
RI i,j,v1,v2,ans=0;for(i=1;i<=n;++i)
{
for(v1=v2=j=1;j<=n;++j) i^j&&(v1=1LL*v1*(k-x[j]+X)%X,v2=1LL*v2*(x[i]-x[j]+X)%X);//分别计算分子和分母
ans=(1LL*y[i]*v1%X*Qpow(v2,X-2)+ans)%X;//统计
}return ans;//返回答案
}
}G;