- 给定(n)，对于所有(i=0sim n)，求出(S_2(n,i))。
- (nle2 imes10^5)
第二类斯特林数·行
关于第二类斯特林数的基础性质可见：斯特林数的基础性质与斯特林反演的初步入门。
为求解一行第二类斯特林数，首先我们要知道它的组合表示：
[S_2(n,m)=frac1{m!}sum_{k=0}^m(-1)^k imes C(m,k) imes (m-k)^n
]
我们把组合数拆开，发现其中的(m!)与前面的(frac1{m!})恰好约掉，剩下的部分可以写成：
[S_2(n,m)=sum_{k=0}^mfrac{(-1)^k}{k!} imesfrac{(m-k)^n}{(m-k)!}
]
这可以看作一个卷积的形式，于是我们构造两个生成函数：
[F(x)=sum_{k=0}^{+infty}frac{(-1)^k}{k!}x^k\
G(x)=sum_{k=0}^{+infty}frac{k^n}{k!}x^k
]
二者相卷即可得到(S_2(n))的生成函数了。
这应该算是快速求斯特林数的四类问题中最简单的一个了吧。
代码：(O(nlogn))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define X 167772161
using namespace std;
int n,S[N<<2],S2[N<<2];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
namespace Poly
{
#define PR 3
int P,L,A[N<<2],B[N<<2],R[N<<2];I void NTT(int* s,CI op)
{
RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(swap(s[i],s[R[i]]),0);
for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(QP(PR,op),(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1,
k=0;k^i;S=1LL*S*U%X,++k) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X;
}
I void Mul(CI n,int* a,int* b)
{
RI i;P=1,L=0;W(P<=2*n) P<<=1,++L;for(i=0;i^P;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i],R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1);
for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) a[i]=1LL*A[i]*t%X;
}
}
int main()
{
RI i,t=1;for(scanf("%d",&n),i=0;i<=n;++i) i&&(t=1LL*t*QP(i,X-2)%X),S2[i]=(i&1?X-1LL:1LL)*t%X,S[i]=1LL*QP(i,n)*t%X;//构造两个生成函数
for(Poly::Mul(n,S2,S),i=0;i<=n;++i) printf("%d ",S2[i]);return 0;//直接卷起来即可
}