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  • 单纯看懂公式的单位根反演

    前言

    很久以前就听说是个挺有用的东西,然而一直没有去学。

    最近打算恶补一下数学,像类欧啊,单位根反演啊,斯特林反演啊,都决定去写篇博客装装样子、充充门面。

    于是,我来了。

    大致用途

    (O(k))的时间内求出一个数列中所有下标为(k)的倍数的数值和。

    当然,它也同样可以应用于生成函数中发挥神奇的作用。

    公式

    [[k|n]=frac 1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni} ]

    开局上公式的操作让我不禁想到拉格朗日插值。

    考虑如何证明,自然是分两类讨论。

    (k|n)时:

    [frac1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac1ksum_{i=0}^{k-1}(omega_k^n)^i=frac 1k imes k=1 ]

    (k ot|n)时:

    [frac1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac 1kcdot omega_k^0cdotfrac{omega_k^0-omega_k^{kn}}{1-omega_k^n}=frac 1kcdot omega_k^0cdot 0=0 ]

    证明完毕。

    这篇博客就是当个摆设的,例题什么的看情况再补吧。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/omega.html
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