题目: 有100个人商量做一个游戏，在游戏开始之前他们商定一个策略，然后每人戴一顶帽子，帽子上是1~100的随机数，游戏开始后每人只能看到其他人头上的帽子的数字。这时要求所有人同时说出一个数字来猜自己头上的帽子，问是否存在一个策略(策略比赛开始之前商定)使得：至少有一个人说出的是自己头上的数字？
这个问题曾经纠结本人数天，苦思不得求解。该题目存在简单版本的提示：即就是2个人的情况下是怎么样商定策略的。
提示一:
当题目简化成只有2个人的时候，可以知道头上帽子的数字不是0就是1。
可以将所有的情况穷举出来
帽子一 帽子二
0 0
0 1
1 0
1 1
上述的情况可以划分成两类:
类别1:
0 0
1 1
类别2:
0 1
1 0
上述两个类别中，类别1的两人只要商定策略 "我们都报对方头上的数字" 就都可以答对，相反，如果商定策略 "我们都报对方头上相反的数字" 那就全部打错。
类别2中的两人只要商定策略 "我们都报对方头上相反的数字" 就可以全部答对， 反之，则全部答错。
根据类别1和类别2可以中和一下策略: "你报我头上的数字， 我报你头上相反的数字"。则可以得到如下结果:
帽子一 帽子二 戴帽子一的人报的数字 戴帽子二的人报的数字
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 1 0
这种商定策略可以保证 至少有一个人且仅有一个人答对数字
根据上述简化版的分类方式，百度上有个投机取巧的方法可以求解该题目:
解答一:
百度知道中有人回答:
从100个人中随机抽一个人（A）出来，叫他(A)把相同数字的人围成圈站一起。Ⅰ有圈的情况下，让他（A）对大家说：“报出各自圈子里看到的数字，没站成圈的随便报，A自己也随便报。”Ⅱ没圈的情况下，A进去，让A换个人（B）出来做指挥，让他(B)把相同数字的人围成圈站一起。 ①若无圈，叫A让B对大家说：“报出自己没看到的数字。” ②若有圈，叫A让B对大家说：“报出各自圈子里看到的数字，没站成圈的随便报,B自己随便报。”请大家看看这样接合乎逻辑不，有没有犯规。
这种方法如果存在圈那就一定有人答对，因为圈内的人数字都相同。如果不存在圈，则所有数字不重复，那除去自己看到的数字就只剩自己头上帽子的数字了。但是，这种方法本身需要有个人(A)出来管制策略，从创新的角度来说，是个相当简单便捷的方法，但是如果规则硬性规定不能有个人出来管制策略呢？
解答二:
回归到原来的提示一，在提示一的基础上就没有办法将问题扩展回原来的100人，甚至是1000人以及1000个数字的情况嘛？
我们来寻找下类别1和类别2的共同规律，可以发现类别2两个帽子的总数相加的总数是固定值1，类别1的帽子的总数也同样是固定值，分别是0和2。
既然帽子的总数是固定值，那我们可以不可以通过猜总数值来猜自己头上的数字呢？但是0、1两个数字的总数值可以是0、1、2三种结果，而人数却只有2个，只能猜测两种结果。
其实这里仔细考虑下可以发现实际上0、1连个总数的值并没有3种结果，当有一个数字的值是1时，那么结果只可能是1、2两种。为了方便运算起见，我们将结果值对人数取余，则0、1、2取余的结果是0、1两个结果。
那么只要一开始的时候规定好自己将要猜的结果余数值，就可以将所有可能的结果情况列举一遍，这样就其中一个人就可以将唯一答案给说中，如此就确保有且仅有一个人猜对自己头上的数字。
首先以2个人为例子 A猜结果余数为0的值， B猜结果余数为1的值
A B A的计算过程 B的计算过程 A的结果 B的结果
0 0 (A + 0) % 2 = 0 (B + 0) % 2 = 1 0 1
0 1 (A + 1) % 2 = 0 (B + 0) % 2 = 1 1 1
1 0 (A + 0) % 2 = 0 (B + 1) % 2 = 1 0 0
1 1 (A + 1) % 2 = 0 (B + 1) % 2 = 1 1 0
通过上述例子，我们可以发现和提示一所产生的答案完全一致，但是利用该方法可以引伸到更多的人数设置是100人、1000人以及更多。
我们再以 3个人为例子进行一次校验, A商定余数结果是0、B是1、C是2
A B C A的计算过程 B的计算过程 B的计算过程 A的结果 B的结果 C的结果
0 1 0 (A + 1) % 3 = 0 (B + 0) % 3 = 1 (C + 1) % 3 = 2 1 1 1
0 1 2 (A + 3) % 3 = 0 (B + 2) % 3 = 1 (C + 1) % 3 = 2 0 2 1
2 2 1 (A + 3) % 3 = 0 (B + 3) % 3 = 1 (C + 4) % 3 = 2 0 1 1
...
因为ABC总共有3的3次方27种情况，就不一一列举了。
即一开始商定策略:
(自己要报出来的数字 + 看的所有数字的总和) % 总人数 = 自己预定义的结果余数编号
解答补充:
上述解答是经同学指导得到，但是并不一定是唯一解，希望大家能够给出更加简便或者特殊的解答方法，共同交流。解答补充希望有大牛帮忙指导！