题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)
此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据。 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额。。。
思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=sum(2)+sum(3)+...+sum(n)
只需求出sum(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。
接下来重点就是求sum(n):
注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数,
则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1
(额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。
由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> /* 数论题 题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n) 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n),则所求结果ans(n)=f(2)+f(3)+...+f(n) 只需求出f(n),就可以推出所有答案:ans(n)=ans(n-1)+sum(n)(我当时怎么就没想到呢,额。。。)。 接下来重点就是求sum(n): 注意到所有gcd(x,n)都是n的约数,可以按照这个约数进行分类,用g(n,i)表示满足g(x,n)=i且x<n的正整数个数, 则sum(n)=sum{i*g(n,i)|i是n的约数}。注意到gcd(x,n)=i的充要条件是gcd(x/i,n/i)=1 (额,我是看到书上的这个提示,才想到怎么做的。。。),因此满足条件的x/i有phi(n/i)个(欧拉函数),说明g(n,i)=phi(n/i)。 由于时间限制,同素数筛选法,我们需要对于每个i枚举它的倍数n并更新sum(n),这些都在预处理中完成。 */ using namespace std; const int maxn=200005; int phi[maxn]; long long sum[maxn]; long long ans[maxn]; void init(){ memset(phi,0,sizeof(phi)); memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(ans,0,sizeof(ans)); phi[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++){ if(!phi[i]){ for(int j=i;j<maxn;j+=i){ if(!phi[j]) phi[j]=j; phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } } } long long i,j; for(i=2;i<maxn;i++){ for(j=1;i*j<maxn;j++){ /* //原来第二次循环j是从1~maxn,循环中加个if条件,预处理都运行很慢很慢,超时 if(i*j>=maxn) continue; */ sum[i*j]+=phi[i]*j; //n=i*j,j为n和x的公约数,类似于素数筛选法 } } /* //白书上的代码 for(int i=1;i<maxn;i++){ for(int n=i*2;n<maxn;n+=i) sum[n]+=i*phi[n/i]; } */ ans[2]=sum[2]; for(int i=3;i<maxn;i++){ ans[i]=ans[i-1]+sum[i]; //怎么都忘记可以利用前一项的结果啊!!! } } int main() { init(); int n; long long result; while(scanf("%d",&n),n){ printf("%lld ",ans[n]); //UVA上,注意是lld } return 0; }