2007-7-22 12:38
所有的能量受限连续信号构成一个集合V，在其中定义加法（信号叠加）和数乘（信号加倍）则构成一个无限维的线性空间，再将相乘积分定义为内积，并证明其完备性，则这个V变为希尔伯特空间。
任何能量受限信号皆为空间V中的一个点，若再将一组单位正交函数定义为基函数，则每个信号都可以用这组基的坐标来表示，时域和频域就是定义了两种不同基函数的结果。
时域：定义函数h(t0,t)，h(t0,t)仅在时刻t0取值为1，其余时刻取值为0，则以t0∈R为指标集的函数集合{h(t0,t)}内的函数单位正交，因此{h(t0,t)}为空间V的基函数集
频域：以w∈R为指标集的函数集合{exp(-jwt)}内的函数单位正交，因此{exp(-jwt)}为空间V的基函数集。
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频域只是时域的加权平均，域变换其实都是加权平均，只是时域到频域也是加权平均，而且加权因子反相，所以有对称特性。域变换只是信号处理的一种方法。
在时域重叠而在频域不同的信号可以通过滤波分离开来（连续信号的熵是无穷的）。那在时域重叠在频域也重叠的信号能否通过别的域变换分离出来呢？（可以）
频域和时域之间的特性在于它的加权因子exp（-jwt），这是个相位改变量，w的大小反映了加权因子变化的快慢，也就是相邻数据相位改变的快慢，这就是频域的本质。以一个慢变化信号为例，参与加权平均的原始信号的相位改变量很小，当w较小的时候，不会出现抵消的现象，但当w比较大的时候，参与平均的信号的相位改变量就比较大，信号就被抵消掉了，于是信号的频谱集中在低频部分。
当信号的变化规律能和某一个w导致的exp（jwt）相吻合的话，那么就会出现一个频域峰值，这就是可以用频谱分析去分析一个信号的基频和n次谐波的原因。
对于随机信号，自相关函数和功率谱是一对傅立叶变化，平方再作期望