单调队列优化动态规划

LJ: 那些又远又差的，我们就不要了

引入

[LuoguP1725 琪露诺](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1725)

题目描述

在幻想乡，琪露诺是以笨蛋闻名的冰之妖精。

某一天，琪露诺又在玩速冻青蛙，就是用冰把青蛙瞬间冻起来。但是这只青蛙比以往的要聪明许多，在琪露诺来之前就已经跑到了河的对岸。于是琪露诺决定到河岸去追青蛙。

小河可以看作一列格子依次编号为0到N，琪露诺只能从编号小的格子移动到编号大的格子。而且琪露诺按照一种特殊的方式进行移动，当她在格子i时，她只移动到区间[i+l,i+r]中的任意一格。你问为什么她这么移动，这还不简单，因为她是笨蛋啊。

每一个格子都有一个冰冻指数A[i]，编号为0的格子冰冻指数为0。当琪露诺停留在那一格时就可以得到那一格的冰冻指数A[i]。琪露诺希望能够在到达对岸时，获取最大的冰冻指数，这样她才能狠狠地教训那只青蛙。

但是由于她实在是太笨了，所以她决定拜托你帮它决定怎样前进。

开始时，琪露诺在编号0的格子上，只要她下一步的位置编号大于N就算到达对岸。

数据规模

对于60%的数据：N <= 10,000

对于100%的数据：N <= 200,000

对于所有数据 -1,000 <= A[i] <= 1,000且1 <= L <= R <= N

60pts

可以想到DP，$ \ f[i] \ $表示走到第 $ \ i \ $格的最大冰冻值

转移：$ \ f[i] \ = \ max( \ f[i - j] \ + \ a[i] \ ) \ (l \le j \le r) \ \ , f[0] \ = \ a[0] $

时间复杂度$ \ O(n^2) \ $

100pts

考虑转移方程$ \ f[i] \ = \ max( \ f[i - j] \ ) \ (l \le j \le r) $

即$ \ f[i] \ 只与 \ f[i - j] \ (l \le j \le r) \ $有关

考虑将所有的\(f[i - j]\)装入队列，并维护其单调性

即将所有不可能成为最优答案的元素弹出

再将所有的已经超出当前范围的元素弹出，就成功维护了

可知这是个双端队列(deque)

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005;
int n, l, r, a[N], f[N * 2], ans = -999999999;

template <typename T>
inline void read(T &t) {
    t = 0; T m = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') m = -1; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') { t = (t << 3) + (t << 1) + (ch & 15); ch = getchar(); }
    t *= m;
}

struct Node {
    int val, idx;
}; 

deque <Node> que;

int main(void) {
    read(n), read(l), read(r);
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        read(a[i]);
    }
    int p = 0;
    for(int i = l; i <= n; i++) {
    	while(!que.empty() && que.back().val < f[p]) que.pop_back();
    	que.push_back((Node){f[p], p});
    	while(que.front().idx < i - r) que.pop_front();
    	f[i] = que.front().val + a[i];
    	p++;
    }
    for(int i = n - r; i <= n; i++) {
    	ans = max(ans, f[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}
/*
/*
58 3 22
0 480 333 559 795 -357 -331 29 -719 -527 621 954 -87 -350 -242 -391 -991 -626 -367 285 490 -62 366 251 282 446 597 -640 -115 357 -60 157 -380 -544 669 792 -250 -40 -989 860 780 578 30 224 116 -987 219 431 629 -266 -188 -478 322 699 907 -108 -373 -575 -107
*/