堆排序(Java实现)

《算法导论》中堆排序主要将其分为堆的性质、维护堆的性质、建堆、堆排序算法

堆的性质：给定一个结点的下标i，很容易计算得到它的父结点、左孩子和右孩子的下标（伪代码）：

PARENT(i)
    return i/2

LEFT(i)
    return 2i
    
RIGHT(i)
    return 2i+1

 这里针对下标从1开始的数组，然而实际上我们涉及的数组都是从0开始。为了改进上面的伪代码，可以使用移位来解决,其伪代码：

PARENT(i)
    return (i-1)>>1

LEFT(i)
    return ((i+1)<<1)-1
    
RIGHT(i)
    return (i+1)<<1

 维护堆的性质(MAX-HEAPIFY):

MAX-HEAPIFY是用于维护最大堆性质的重要过程。他输入为一个数据A和一个下标i,在调用MAX-HEAPIFY的时候，假定根节点为LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉树都是最大堆，但这时A[i]有可能小于其孩子，这样就违背了最大堆的性质。MAX-HEAPIFY通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，从而使得以下标i为根结点的子树重新遵循最大堆的性质。其伪代码如下所示：

MAX-HEAPIFY(A, i)
    l = LEFT(i);
    r = RIGHT(i);
    if l <= A.heap-size and A[l] > A[i]
        largest = largest
    else largest = i;
    if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]
        largest = r
    if largest != i
        exchangeA[i]withA[largest]
        MAX-HEAPIFY(A, largest)

用Java语言实现维护堆的性质：MAXHeapify.java

package heapsort;

public class MaxHeapify {

    public void heapAdjust(int[] A, int i, int len){
        
        int l = Left(i);
        int r = Right(i);
        int largest = i;//假设父节点值最大
        
        if (l < len && A[l] > A[i]) {//左孩子值大于父节点值
            largest = l;
        }
        
        if (r < len && A[r] > A[largest]) {//右孩子值大于父节点值
            largest = r;
        }
        
        if (largest != i) {
            //exchange A[i]withA[largest] 
            int tmp = A[i] ;
            A[i] = A[largest];
            A[largest] = tmp;
            heapAdjust(A, largest, len);
        }
        
    }

    private int Right(int i) {//右孩子坐标
        return ((i+1)<<1);
//        return 2*i+1;
    }

    private int Left(int i) {//左孩子坐标
        return ((i+1)<<1)-1;
//        return 2*i;
    }
    
}

 测试维护堆的性质代码即：MaxHeapifyTest.java

package heapsort;

public class MaxHeapifyTest {

    public static void main(String[] args) {
        int[] A ={16, 4, 10, 14, 7, 9, 3, 2, 8, 1};
//        int[] A={5, 2, 4, 6, 1, 3, 2, 6};
        MaxHeapify maxHeapify = new MaxHeapify();
        maxHeapify.heapAdjust(A, 1, A.length);
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            System.out.print(A[i]+" ");
        }
    }

}

 测试结果：

16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 

建堆(BUILD-MAX-HEAPIFY):

用自底向上的方法利用过程MAX-HEAPIFY把一个大小为n=A.length的数组A[1..n]转换为最大堆。通过一个证明：当用数组表示存储n个元素的堆时，叶节点下标分别为floor(n/2)+1,floor(n/2)+2,...,n。可知道，子数组A[floor(n/2)+1..n]中的元素都是树的叶结点。每个叶结点都可以看成只包含一个元素的堆。过程BUILD-MAX-HEAPIFY对树中的其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY。其伪代码如下：

BUILD-MAX-HEAP(A)
 A.heap-size = A.length
 for i = floor(A.length/2) downto 1
    MAX-HEAPIFY(A, i)

用Java语言实现BUILD-MAX-HEAPIFY功能即：BuildHeap.java

package heapsort;

public class BuildHeap {

    public void buildMaxHeap(int[] A) {
        for (int i = A.length/2-1; i >= 0; i--) {
            MaxHeapify maxHeapify = new MaxHeapify();
            maxHeapify.heapAdjust(A, i, A.length);
        }

    }
    
}

测试建堆的功能即BuildHeapTest.java:

package heapsort;

public class BuildHeapTest {

    public static void main(String[] args) {
        int[] A = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
        BuildHeap buildHeap = new BuildHeap();
        buildHeap.buildMaxHeap(A);
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            System.out.print(A[i]+" ");
        }
    }

}

测试结果：

16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 

堆排序算法：

初始时候，堆排序算法利用BUILD-MAX-HEAP将输入数组A[1..n]建成最大堆，其中n=A.length。因为数组中的最大元素总在根结点A[1]中，通过把它与A[n]进行互换，我们可以让该元素放到正确的位置。这时候，如果我们从堆中去掉结点n(这一操作可以通过减少A.heap-size的值来实现)，剩余的结点中，原来根的孩子结点仍然是最大堆，而新的根结点可能会违背最大队的性质。为了维护最大堆的性质，我们要做的是调用MAX-HEAPIFY(A, 1)，从而在A[1..n-1]上构造一个新的最大堆。堆排序算法会不断重复这一过程，直到堆的大小从n-1降到2.

HEAPSORT(A)
    BUILD-MAX-HEAP(A)
    for i = A.length downto 2
        exchange A[1] with A[i]
        A.heapsize = A.heapsize-1
        MAX-HEAPIFY(A, 1)

注意：本段伪代码数组下标从1开始，要想实现该段伪代码时候，要将下标改为0开始。

用Java代码实现堆排序即HeapSort.java:

package heapsort;

public class HeapSort {
    
    public HeapSort(int[] A) {
        
        BuildHeap buildHeap = new BuildHeap();
        buildHeap.buildMaxHeap(A);

        for (int i = A.length-1; i > 0; i--) {
            //exchange A[1]withA[i]
            int tmp = A[0];
            A[0] = A[i];
            A[i] = tmp;
            //维护堆的性质
            MaxHeapify maxHeapify = new MaxHeapify();
            maxHeapify.heapAdjust(A, 0, i);//A[0]为根结点
        }
    }    
}

测试堆排序算法即HeapSortTest.java:

package heapsort;

public class HeapSortTest {

    public static void main(String[] args) {
        int[] A = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
        HeapSort heapSort = new HeapSort(A);
        for (int j = 0; j < A.length; j++) {
            System.out.print(A[j]+" ");
        }        
    }

}

测试结果：

1 2 3 4 7 8 9 10 14 16