对于一个 (n) 个顶点的凸多边形，它的任何三条对角线都不会交于一点。请求出图形中对角线交点的个数。
练python刷简单题刷到了这个，挺有趣的一道题目。
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对于一个 (n) 边形，选任意一个点A可以引出(n-3)条对角线。相邻的点B再引出(n-3)条线，分别与前者有(1,2 ... n-3)个交点。与B相邻且不与A相邻的C引出(n-4)条线，交A引出的对角线有(1,2 ... n-4)个交点，B亦然。
有一篇论文介绍得十分详细 链接
故结果应为(sumlimits^{n-3}_{i=1}(i*sumlimits^{n-2-i}_{j=1})quad= quadsumlimits^{n-3}_{i=1}i*frac{(n-i-1)(n-i-2)}{2})
代码如下
n=int(input())
ans=0
i=1
while True :
ans+=i*(n-(2+i))*(n-(1+i))//2
if n-(1+i)<=2 :
break
i+=1
print(ans)
此方法可以解决这个问题，时间复杂度(O(n))
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我暂时不会对上述和式求和，但推测通项可能是或四次的。故希望能(O(1))解决这个问题。
令(f(n)=sumlimits^{n-3}_{i=1}frac{(n-i-1)(n-i-2)}{2}) 易知(f(3)=0,f(4)=1,f(5)=5,f(6)=15,f(7)=35)
构建范德蒙德矩阵
[V=vander(egin{bmatrix}3&4&5&6&7end{bmatrix})
]
[V*vec A=egin{bmatrix}0&1&5&15&35end{bmatrix}^T
]
[vec A=egin{bmatrix}frac{1}{24}&-frac{1}{4}&frac{11}{24}&-frac{1}{4}&0end{bmatrix}^T
]
验证(n>=8)，成立。则
[f(n)=[n^4quad n^3quad n^2 quad nquad1]vec A
]
使用matlab计算这个问题
>> format rat
>> V=vander([3 4 5 6 7]);
>> inv(V)*[0;1;5;15;35]
ans =
1/24
-1/4
11/24
-1/4
-1/25588634246423
所以代码为此简单的三行
a=int(input())
a=a*a*a*a-a*a*a*6+a*a*11-a*6
print(a//24)
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实际上，用组合数学的方法，我们知道，每四个不同的顶点有一个交点，答案即是(C^{4}_n=frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24})与以上结果相同。