BZOJ 1005 [HNOI2008]明明的烦恼

1005: [HNOI2008]明明的烦恼

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Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

Source

题解：天哪。。这要是在考场上怎么想得完，蒟蒻做不到。。。

用到了prufer数列，以下摘自度娘：

Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中，Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列，点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。它可以通过简单的迭代方法计算出来。它由Heinz Prufer于1918年在证明cayley定理时首次提出。

1将树转化成Prufer数列的方法

一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。

例子

Prufer数列

以右边的树为例子，首先在所有叶子节点中编号最小的点是2，和它相邻的点的编号是3，将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4，5被加入序列，然后删除5，1被加入序列，1被删除，3被加入序列，此时原图仅剩两个点（即3和6），Prufer序列构建完成，为{3,5,1,3}

2将Prufer数列转化成树的方法

设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列，另建一个集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数，将该点与Prufer序列中首项连一条边，并将该点和Prufer序列首项删除，重复操作n-2次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。

例子

仍为上面的树，Prufer序列为{3,5,1,3}，开始时G={1,2,3,4,5,6}，未出现的编号最小的点是2，将2和3连边，并删去Prufer序列首项和G中的2。接下来连的边为{4,5},{1,5},{1,3},此时集合G中仅剩3和6，在3和6之间连边，原树恢复。

以下摘自怡红公子：该题需要将树转化为prufer编码：

n为树的节点数，d[ ]为各节点的度数，m为无限制度数的节点数。

则

所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号，共有

种插法；

在tot各序号排列中，插第一个节点的方法有

种插法；

插第二个节点的方法有

种插法；

.........

另外还有m各节点无度数限制，所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中，排列方法总数为

；

根据乘法原理：

然后就要高精度了.....但高精度除法太麻烦了，显而易见的排列组合一定是整数，所以可以进行质因数分解，再做一下相加减。

关于n!质因数分解有两种方法，第一种暴力分解，这里着重讲第二种。

若p为质数，则n!可分解为一个数*

，其中

且

所以

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

然后呢。。。貌似就可以做了？

不过写起来还是很hentai的。。。高精度最hentai。。。我才不是复制的。。。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cmath>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<queue>
  6 #include<cstring>
  7 #define PAU putchar(' ')
  8 #define ENT putchar('
')
  9 using namespace std;
 10 const int maxn=1000+10,maxm=10000+10,inf=-1u>>1;
 11 const int MAXN=3010;
 12 struct bign{
 13     int len,s[MAXN];  
 14     bign(){memset(s,0,sizeof(s));len=1;}
 15     bign(int num){*this=num;}
 16     bign(const char *num){*this=num;}
 17     bign operator = (const int num){
 18         char s[MAXN];  sprintf(s,"%d",num);  
 19         *this = s;return *this;
 20     }
 21     bign operator = (const char *num){
 22         for(int i=0;num[i]=='0';num++);
 23         len=strlen(num);  
 24         for(int i=0;i<len;i++) s[i]=num[len-i-1]-'0';  
 25         return *this;
 26     }
 27     bign operator + (const bign &b) const{
 28         bign c;c.len=0;
 29         for(int i=0,g=0;g||i<max(len,b.len);i++)  {
 30             int x=g;
 31             if(i<len) x+=s[i];  
 32             if(i<b.len) x+=b.s[i];
 33             c.s[c.len++]=x%10;  
 34             g=x/10;
 35         } return c;  
 36     }
 37     void clean(){while(len > 1 && !s[len-1]) len--;return;}
 38     bign operator * (const bign &b){
 39         bign c;
 40         c.len=len+b.len;  
 41         for(int i=0;i<len;i++) for(int j=0;j<b.len;j++) c.s[i+j]+=s[i]*b.s[j];  
 42         for(int i=0;i<c.len;i++){
 43             c.s[i+1]+=c.s[i]/10;  
 44             c.s[i]%=10;
 45         } c.clean();return c;  
 46     }
 47     bign operator - (const bign &b){
 48         bign c;c.len=0;
 49         for(int i=0,g=0;i<len;i++){
 50             int x=s[i]-g;if(i<b.len) x-=b.s[i];  
 51             if(x>=0) g=0;  
 52             else g=1,x+=10;
 53             c.s[c.len++]=x;
 54         } c.clean();return c;  
 55     }
 56     bool operator < (const bign &b)  {
 57         if(len!=b.len) return len<b.len;  
 58         for(int i=len-1;i>=0;i--){
 59             if(s[i]!=b.s[i]) return s[i]<b.s[i];  
 60         } return false;
 61     }
 62     bool operator > (const bign &b){
 63         if(len!=b.len) return len>b.len;  
 64         for(int i=len-1;i>=0;i--){
 65             if(s[i]!=b.s[i]) return s[i]>b.s[i];  
 66         } return false;  
 67     }
 68     bool operator == (const bign &b){
 69         return !(*this>b)&&!(*this<b);  
 70     }
 71     void print(){
 72         for(int i=len-1;i>=0;i--) putchar(s[i]+'0');return;
 73     }
 74 }ans;
 75 bign pow(int x0,int y){
 76     bign x=x0,ans=1;for(int i=y;i;i>>=1,x=x*x)if(i&1)ans=ans*x;return ans;
 77 }
 78 int n,m,tot=0,fenmu[maxn],fenzi[maxn];bool prime[maxn];
 79 void initp(){
 80      memset(prime,true,sizeof(prime));prime[0]=prime[1]=false;prime[2]=true;
 81      for(int i=2;i*i<=n;i++)if(prime[i])for(int j=i*i;j<=n;j+=i)prime[j]=false;
 82 }
 83 void split(int t,int a[]){
 84     int sum;for(int i=2;i<=t;i++)if(prime[i]){
 85         sum=i;while(sum<=t)a[i]+=t/sum,sum*=i;
 86     }return;
 87 }
 88 inline int read(){
 89     int x=0,sig=1;char ch=getchar();
 90     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')sig=-1;ch=getchar();}
 91     while(isdigit(ch))x=10*x+ch-'0',ch=getchar();
 92     return x*=sig;
 93 }
 94 inline void write(int x){
 95     if(x==0){putchar('0');return;}if(x<0)putchar('-'),x=-x;
 96     int len=0,buf[15];while(x)buf[len++]=x%10,x/=10;
 97     for(int i=len-1;i>=0;i--)putchar(buf[i]+'0');return;
 98 }
 99 void init(){
100     n=read();initp();int d;
101     for(int i=1;i<=n;i++){
102           d=read();
103           if(d<0){m++;continue;}
104           if(d>1)split(d-1,fenmu);
105           tot+=d-1;
106     }split(n-2-tot,fenmu);split(n-2,fenzi);
107     return;
108 }
109 void work(){
110     for(int i=1;i<=1000;i++)fenzi[i]-=fenmu[i];ans=1;
111     for(int i=1;i<=1000;i++)if(fenzi[i])ans=ans*pow(i,fenzi[i]);
112     if(m)ans=ans*pow(m,n-2-tot);
113     if(tot>n-2||(tot<n-2&&!m)){write(0);return;}
114     return;
115 }
116 void print(){
117     ans.print();
118     return;
119 }
120 int main(){init();work();print();return 0;}