BZOJ 1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

Source

题解：

我们设球心为X(x1,x2,...,xn)

假设有两点A(a1,a2,...,an)和B(b1,b2,...,bn)

那么我们可以得到两个方程

(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+...+(xn-an)^2=r^2

(x1-b1)^2+(x2-b2)^2+...+(xn-bn)^2=r^2

这些方程都是二次的，无法套用高斯消元

但是我们可以做一些处理 将上面两个方程相减可得

(a1-b1)x1+(a2-b2)x2+...+(an-bn)xn=[ (a1^2-b1^2)+(a2^2-b2^2)+...+(an^2-bn^2) ]/2

r被消掉，n个方程，n个未知数套用高斯消元模板即可

模板套的是黄学长的。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define PAU putchar(' ')
#define ENT putchar('
')
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,sig=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') sig=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) x=10*x+ch-'0',ch=getchar();
    return x*=sig;
}
inline void write(int x){
    if(x==0){putchar('0');return;}if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    int len=0,buf[15];while(x) buf[len++]=x%10,x/=10;
    for(int i=len-1;i>=0;i--) putchar(buf[i]+'0');return;
}
using namespace std;
const int maxn=20+5;const double eps=1e-7;
int n;double f[maxn],a[maxn][maxn];
double sqr(double x){return x*x;}
void ini(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            double t;
            scanf("%lf",&t);
            a[i][j]=2*(t-f[j]);
            a[i][n+1]+=sqr(t)-sqr(f[j]); 
        }
}
bool gauss(){
    int now=1,to;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(to=now;to<=n;to++)if(fabs(a[to][i])>eps)break;if(to>n)continue;
        if(to!=now)for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[to][j],a[now][j]);
        double t=a[now][i];
        for(int j=1;j<=n+1;j++)a[now][j]/=t;
        for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=now){
            t=a[j][i];for(int k=1;k<=n+1;k++)a[j][k]-=t*a[now][k];
        }now++;
    }
    for(int i=now;i<=n;i++)if(fabs(a[i][n+1])>eps)return false;
    return true;
}
void init(){
    ini();
    return;
}
void work(){
    gauss();
    return;
}
void print(){
    for(int i=1;i<n;i++)printf("%.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("%.3lf",a[n][n+1]);
    return;
}
int main(){
    init();work();print();return 0;
}