离散数学学习笔记

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前言

本笔记由chy-2003整理于上海交通大学发布于coursera的离散数学课程。讲师龙环。

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定理或命题下方的块没有特殊标注即为证明。

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目录

• 前言
• 引言
  • 推荐书目
  • 函数
  • 集合运算
  • 关系
  • 关系的运算
  • 等价类
  • 划分
  • 练习题1.1
• 序的关系
  • 偏序集
  • 线性序
  • 字典序
  • 立即前元
  • 偏序集上的极大元、极小元、最大元、最小元
  • 线性扩充定理
  • 练习题1.2
  • 链与反链
  • 最大独立集和最长链
  • 练习题1.3
• 组合数计数
  • 导引：函数的计数
  • 练习题2.1
  • 简单应用：子集计数，置换计数
  • 练习题2.2
  • 二项式定理、多项式定理
  • 练习题2.3
  • 容斥原理
  • 应用1：错排
  • 应用2：欧拉函数
  • 练习题2.4
• 函数估计
  • 大O符号
  • 调和级数（Harmonic number）
  • 练习题3.1
  • 估值初步：阶乘估值
  • 估值初步：二项式系数估值
• 图论导引
  • 基本定义
  • 特殊图
  • 练习题4.1
  • 握手定理
  • 图同构（graph isomorphism）
  • 练习题4.2
  • 欧拉图
  • 有向欧拉图
  • 编码盘
  • 练习题5.1
  • 哈密顿图与Ore定理
  • 练习题5.2
  • 握手定理的应用（一）： Smith定理
  • 握手定理的应用（二）：Sperner引理
  • 练习题5.3
• 树
  • 树的刻画
  • 练习题6.1
  • 有根树同构
  • 树同构的判定
  • 练习题6.2
  • 生成树计数
  • 最小生成树
  • 练习题6.3
• 网络流
  • 基本概念
  • 最大流最小割定理
  • 练习题6.4

引言

推荐书目

Invitation to Discrete Mathematics（Oxford University Press）

Discrete Mathematics:Elementary and Beyond

函数

函数(f:X ightarrow Y)为集合(X)到集合(Y)的一个映射。对于任意(xin X)，都有唯一一个(yin Y)与之对应。

单射：对于(forall yin Y)最多只有一个(xin X)与之对应。

满射：对于(forall yin Y)都有至少一个(xin X)与之对应。

双射：同时满足单射与满射的映射。

集合运算

对于集合(A={1,2,3})，(B={2,4})，(U={1,2,3.4}):

(2^A={emptyset, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}) （幂集(P(A))）

(Adiagdown B={1,3}) （(A-B)）

(A imes B={(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)})

(Aoplus B={1,3,4})。

(overline A ={4})。

关系

对于集合(A)，关系(Rsubseteq A imes A)，如果((x,y)in R)，就可以记做(xRy)。关系可能有以下性质：

• 自反性： 对于(forall xin A)，都有(xRyxRx)。
• 对称性： 对于(forall x,y in A)，如果(xRy)，就有(yRx)。
• 反对称性： 对于(forall x,yin A)，如果有(xRy)且(yRx)，那么(x=y)。
• 传递性： 对于(forall x,y,zin A)，如果(xRy)且(yRz)，那么(xRz)。

一些特殊关系：

• 等价关系： 关系(R)具有自反性、对称性、传递性。例如(equiv _6subseteq N imes N)。
• 偏序关系： 关系(R)具有自反性、反对称性、传递性。例如(leqslant subseteq N imes N)。

关系的运算

关系是一个集合，所以支持集合有关的运算。而关系还支持合成运算。我们定义(Rsubseteq A imes B)，(Ssubseteq B imes C)，那么合成运算(Rcirc S={(x,z):xin A wedge zin C wedge exists yin B((x,y)in R wedge (y,z)in S)})。

(R^{-1}={(x,y):(y,x)in R})表示(R)的逆关系。

(R^n=R^{n-1}circ R)。

等价类

有等价关系(Rsubseteq A imes A)，定义(R[x]={yin A:xRy})。(R[x])被称为元素(x)在关系(R)下的等价类。例如对于关系(equiv_6subseteq N imes N)，(equiv_6[0]={0,1,2,3,dots})。

性质：

如果(Rsubseteq A imes A)是等价关系，那么有

(ullet) 对于(forall xin A)，(R[x])非空。

对于(forall xin A)，(xin R[x])。所以对于(forall xin A)，(R[x])非空。

(ullet) 对于(forall x,yin A)，(R[x]=R[y])或(R[x]cap R[y]=emptyset)。

若(R[x]cap R[y]=emptyset)，那么结论成立。

若(zin R[x]cap R[y] eq emptyset)，即(xRz)且(yRz)。那么根据对称性有(zRx)。对于(forall x'in R[x])，即(xRx')，根据传递性有(zRx')。又根据对称性有(yRx')。即(x'in R[y])。( herefore R[x]subseteq R[y])。

同理(R[y]subseteq R[x])。( herefore R[x]=R[y])。

综上所述，结论成立。

划分

对于集合(A)，如果(pi={B_1,B_2,dots,B_n})满足

• 对于(forall 1leqslant i leqslant n)，有(emptyset eq B_i subseteq A)。
• 对于(forall 1leqslant i < j leqslant n)，(B_icap B_j=emptyset)。（不相交性）
• (B_1cup B_2cup dots cup B_n=A)。（覆盖性）

则称(pi)是(A)的一个划分。

如果(Rsubseteq A imes A)是一个等价关系，则等价类集合(Pi={R[x]:xin A})是集合(A)在(R)关系下的划分。

练习题1.1

序的关系

偏序集

定义偏序集((S,R))，(R)是集合(S)上的偏序关系。

常用符号

偏序(preccurlyeq, leqslant)

严偏序(prec, <)

逆序(succcurlyeq, >)

线性序

如果偏序集((S,R))，(forall x,yin S, Rightarrow xRy vee yRx)，那么称((S,R))为线性序。

如((N,leqslant),(Z,leqslant))是线性序，((2^A, subseteq),(N,|))不是。

字典序

若((S_1,leqslant_1),(S_2,leqslant_2),...,(S_n,leqslant_n))是(n)个线性序，((a_1,a_2,...,a_n),(b_1,b_2,...,b_n)in S_1 imes S_2 imes dots imes S_n)。

(n)元字典序((a_1,a_2,dots,a_n)leqslant_{lex}(b_1,b_2,dots,b_n))成立

(Longleftrightarrow(a_1,a_2,cdots,a_n)=(b_1,b_2,dots,b_n)vee exists iin{1,2,dots,n}(forall j<i)a_j=b_jwedge a_i <_i b_i)。

(n)元字典序是线性序的证明

部分证明，其余类似：

传递性：有(n)元组

[x=(a_1,a_2,dots,a_i,dots,a_j,dots,a_n)\ y=(b_1,b_2,dots,b_i,dots,b_j,dots,b_n)\ z=(c_1,c_2,dots,c_i,dots,c_j,dots,c_n) ]

设(xleqslant_{lex} yleqslant_{lex} z)，且(x,y)的前(i-1)项相同，(y,z)的前(j-1)项相同。对(i,j)的大小分为(3)类讨论：

如果(i<j)，那么(a_i<_i b_i=c_i)；如果(i=j)，那么(a_i<_i b_i <_i c_i)；如果(i>j)，那么(a_j=b_j<_j c_j)。综上，有(xleqslant_{lex} y)。

其余部分略。

立即前元

定义：对于偏序集((S,preccurlyeq))，元素(x,y)，若(xprec y wedge urcorner(exists zin s)(xprec zprec y))，那么称(x)是(y)的立即前元，记为(xlhd y)。

性质：1、(lhd)不具有传递性。2、多个元素可能有同一立即前元。3、一个元素可能有多个立即前元。

例：((N,|))。

哈斯图（Hasse diagram）

给定偏序集((S,preccurlyeq))，(S)为有限集。只保留立即前元关系对应边。若(xlhd y)，则代表(y)的点在代表(x)的点上方。可以通过传递闭包恢复原图。

偏序集上的极大元、极小元、最大元、最小元

• 极大元(Maximal element) (urcorner(exists xin S)x succ a)。
• 极小元(Minimal element) (urcorner(exists xin S) x prec a)。
• 最大元(Largest element) (forall x in S, x preccurlyeq a)。
• 最小元(Smallest element) (forall x in S,apreccurlyeq x)。

一些性质

• 极大元、极小元可能不止一个，一个元素可能既是极大元，又是极小元。
• 可能不存在最大元、最小元。
• 最大元一定是极大元，最小元一定是极小元。而极小元不一定是最小元，极大元不一定是最大元。
• 如果(S)是无限集，那么极大元、极小元、最大元、最小元不一定存在。
• 如果(S)是有限集，那么最大元、最小元不一定存在，极大元、极小元一定存在。

(S)为有限集时，极小元存在性证明

取(forall x_0 in S)。如果(x_0)是极小元，那么证毕。如果(x_0)不是极小元，找到(x_1prec x_0)，对(x_1)重复以上讨论。而由于(S)是有限集，那么情况(2)在有限步后不成立，情况(1)成立。

线性扩充定理

线性扩充：对于有限集((S,preccurlyeq))，存在一个线性序集((S,preccurlyeq '))，满足(xprec y ightarrow xpreccurlyeq' y)。

证明：

当(|S|=1)时，((S,preccurlyeq')=(S,preccurlyeq))即可。当(|S|>1)时，取((S,preccurlyeq))中的一个极小元(x_0)，(S'=Sackslash {x})。易证得((S',preccurlyeq))是一个偏序集，且(|S'|<|S|)。根据归纳假设，存在((S',preccurlyeq))的线性扩充((S',preccurlyeq ''))。构造((S,preccurlyeq '))为(preccurlyeq '=preccurlyeq '' igcup {(x_0,y):yin S})。易证((S,preccurlyeq'))是线性序列。

一般线性扩充并不唯一。

练习题1.2

链与反链

对于有限偏序集((S,preccurlyeq))，(Asubseteq S)，(A)被称为

• 链（Chain）: 如果对于任意(x,yin A), $x preccurlyeq y (或)ypreccurlyeq x $。
• 反链（Antichain）: 如果对任意(x,yin A), (x ot preccurlyeq y)。反链也称为独立集（Independent set）。

还可以这么定义：

• 可比较（Comparable）: 若(xpreccurlyeq y)或(y preccurlyeq x)。
• 不可比较（Incomparable）: 若(x ot preccurlyeq y)且$ y ot preccurlyeq x $。
• 链：可比较元素的集合。
• 反链：不可比较元素的集合。

最大独立集和最长链

给定有限偏序集$P=(S,preccurlyeq) $。

• $alpha (P) = max { |A| : A (是)P(上的反链（独立集）)}$。
• (omega(P)=max{|A|:A)是(P)上的链(})。

Mirsky定理：给定有限偏序集(P=(S,preccurlyeq))，将(S)划分成若干个不相交的反链集，取最小划分数(t)，即

[egin{aligned} t=min left { k left | egin{matrix} s=A_1cup A_2 cup dots cup A_k \ 1 leqslant i leqslant k,A_i是反链 \任意1 leqslant i eq j leqslant k, A_i cap A_j = emptyset end{matrix} ight . ight } end{aligned} ]

则(t=omega(P))。

先证明(omega(P)leqslant t)。

(S=A_1cup A_2cup dots cup A_t)，其中(A_1,A_2,dots,A_t)为不相交的反链划分。

$Csubseteq S (是)P(中任意一条链，有)|Ccap A_i|leqslant 1$。

(|C|=|Ccap S|=|Ccap(A_1cup A_2cup dots cup A_t)| = |(Ccap A_1)cup(Ccap A_2)cup dots cup (C cap A_t)|leqslant t)。

( herefore omega(P)leqslant t)。

然后证明(t leqslant omega( P ))。

令(A_1)是(S)的极小元集合，(A_{i+1}=Sackslash (A_1cup A_2cup dotscup A_i))的极小元集合。

每一个(A_i)都是一个反链（独立集）。有限步后(A_1cup A_2cup dots cup A_m)，由(t)的最小性，(t leqslant m)。只需证明(mleqslant omega(P))。

任取(x_min A_m)，由构造，得(exists x_{m-1}in A_{m-1})，使得(x_{m-1}prec x_m)。以此类推，存在序列(x_1prec x_2 prec dots prec x_m)。( herefore m leqslant omega(P))。

( herefore t leqslant omega( P ))。

证毕

推论1：(alpha(P) imes omega(P) geqslant |S|)。

(P=A_1cup A_2cup dots cup A_t)，(t=omega(P))，(|A_i|leqslant alpha(P))。

$|S|=|A_1|+|A_2|+dots+|A_t|leqslant alpha(P) imes omega(P) $。

推论2：对于任意有限偏序集(P=(S,preccurlyeq))，(alpha(P))或(omega(P))之一至少为(sqrt{|S|})。形象的，我们可以定义“宽”：(alpha(P))，”高“：(omega(P))。

Erdos-Szekeres引理：任意一个含有(n^2+1)个元素的实数序列((x_1,x_2,dots,x_{n^2+1}))中都含有一个长度为(n+1)的单调子序列。

对((x_1,dots,x_{n^2+1}))，设(I={1,2,dots,n^2+1})。

在集合(I)上定义关系(preccurlyeq)：$ipreccurlyeq jLongleftrightarrow (ileqslant j)wedge (x_i leqslant x_j) $。

可以证明((I,preccurlyeq))是偏序集。

由于推论2，若$omega(I,preccurlyeq ) > n (：非递减子序列)x_{i_1}leqslant x_{i_2}leqslant dotsleqslant x_{i_m}(。若)alpha(I,preccurlyeq)>n(，有独立集){i_1,i_2,dots,i_m}(。设)i_1 < i_2 < dots < i_m(，则)x_{i_1} > x_{i_2} > dots x_{i_m}$为非递增子序列。

证毕。

练习题1.3

组合数计数

导引：函数的计数

命题1：集合(N)的大小为(n)，集合(M)的大小为(m)，且(ngeqslant 0,mgeqslant 1)。从集合(N)到集合(M)所有可能的函数(f:N ightarrow M)共有(m^n)个。

对(n)做数学归纳。当(n=0)时，(f=emptyset)。(f)唯一。此时(m^n=1)成立。假设(n=k)时结论成立。当(n=k+1)时，取(forall a in N)，则(f:N ightarrow M)可以看做如下两个部分的组合：

1、确定(f(a)in M)即(f)函数在(a)上的值(f(a))。(f(a))的取值共有(m)中可能。

2、确定(f':Mackslash {a} ightarrow M)。根据归纳假设，(f')有(m^{n-1})种可能。

故(f:N ightarrow M)共有(m imes m^{n-1}=m^n)种可能。

命题2：集合(N)的大小为(n)，集合(M)的大小为(m)，且(ngeqslant 0)，(mgeqslant 0)。从集合(N)到集合(M)所有可能的单射函数(f:N ightarrow M)的个数为(m imes (m-1) imes dots imes (m - n + 1 )=prodlimits_{i=0}^{n-1} (m-i))。

对(n)做数学归纳。当(n=0)时，(f=emptyset)。(f)单射且唯一。此时公式成立。假设(n=k)时结论成立。当(n=k+1)时，取(forall a in N)，则(f:N ightarrow M)可以看做如下两个部分的组合：

1、确定(f(a)in M)即(f)函数在(a)上的值(f(a))。(f(a))的取值共有(m)中可能。

2、确定(f':Mackslash {a} ightarrow Mackslash{f(a)})。根据归纳假设，(f')有((m-1)dots(m-n+1))种可能。

故(f:N ightarrow M)共有(m imes (m-1) imes dots imes (m - n + 1 )=prodlimits_{i=0}^{n-1} (m-i))种可能。

练习题2.1

简单应用：子集计数，置换计数

命题3：集合(X)含有(n)个元素(ngeqslant 0)。则(X)一共有(2^n)个子集。

方法一：数学归纳法（略）

方法二：

考虑(X)的任意子集(A)，定义函数(f_A:X ightarrow {0,1})为(egin{aligned} f_A(X)= left { egin{matrix} 1 & if\,\,xin A \ 0 & if\,\,x ot in A end{matrix} ight . end{aligned})。(f_A)叫集合(A)的特征函数。如果可以验证（图示后显然成立）(X)的子集与函数(f_A)一一对应，那么就可以得到(X)的子集个数与从(x)到({0,1})的函数个数相等，为(2^n)个。（命题1）

置换：集合(X)到其自身的双射函数被称为一个置换。

置换的表示：

• (p:X ightarrow X)是一个双射函数。
• 矩阵表示：如果集合(X)是有限集，它包含的元素({x_1,x_2,dots,x_n})，则函数(p)可以表示为(egin{aligned}left ( egin{matrix}x_1 &x_2&dots&x_n\p(x_1)&p(x_2)&dots&p(x_n)end{matrix} ight ) end{aligned})。如果(x_1,x_2,dots,x_n)固定，那么可以用一行表示为(egin{aligned}left(egin{matrix}p(x_1) &p(x_2)&dots&p(x_n)end{matrix} ight )end{aligned})。例如(egin{aligned}p=left (egin{matrix}1&2&3&4&5&6&7\4&5&3&2&6&7&1 end{matrix} ight )end{aligned})可以表示为(egin{aligned}p=left(egin{matrix}4&5&3&2&6&7&1end{matrix} ight)end{aligned})。
• 图示法：
• 环（cycles）表示：(p=((1,4,2,5,6,7)(3)))。

可以证明对于有限集合上的任一置换：1、图示法下表达成互不相交的环（独立子环）；2、除独立子环内点的顺序不一样外，环表示唯一。

置换的计数：阶乘

集合(X)的大小为(n)（即(|X|=n)），则(X)上的置换一共有$n imes (n-1) imes dots imes 2 imes 1 $个。证明：类似于命题2，略。

(n)的阶乘（n factorial）：(n!=n imes(n-1) imes dots imes 2 imes 1 =prodlimits_{i=1}^n i)。

练习题2.2

二项式定理、多项式定理

问题引入：已知集合(X)的大小为(n)（即(|X|=n)），(ngeqslant kgeqslant 0)。(X)的所有子集中正好含有(k)个元素的子集一共有多少个？例：(X={a,b,c},k=2)。

常用符号：$X choose k (和)| {X choose k} |(。例中){Xchoose k}={{a,b},{a,c},{b,c}}(，)|{Xchoose k }|=3$。

命题4 ：从含(n)个元素的集合(X)中抽取含(k)个元素((ngeqslant kgeqslant 0))的子集。所有(k)元子集的个数为

[left |{Xchoose k} ight |=frac{n(n-1)(n-2)dots(n-k+1)}{k!} ]

算两次：

从(X)中抽取(k)元不重复有序组，一共有(n(n-1)dots(n-k+1))种方法。

另一方面从任意1个(X)的(k)元子集出发，可以得到(k!)个不同的(k)元有序组。

二者相等，故$n(n-1)dots(n-k+1)=k!left | { X choose k } ight | $。

[ herefore left | {X choose k } ight |=frac{n(n-1)dots(n-k+1)}{k!} ]

二项式系数：(|X|=ngeqslant k)均为非负整系数，定义二项式系数为

[{nchoose k}=left | {Xchoose k } ight | =frac{n(n-1)dots(n-k+1)}{k!}=frac{n!}{k!(n-k)!} ]

命题5：(mgeqslant rgeqslant 0)是满足等式(x_1+x_2+dots+x_r=m)的非负(r)元整数解((x_1,x_2,dots,x_r))的个数为(m+r-1 choose r-1)个。

(m)个球用(r-1)个隔板隔开，方法与解((x_1,x_2,dots,x_r))一一对应。就相当于在(m+r-1)个对象中，选取(r-1)个作为挡板，剩下(m)个为球。

性质：

• ({nchoose k}={nchoose n-k})
• ({n-1 choose k-1}+{n-1choose k}={n choose k})
• (sumlimits_{i=0}^n{n choose i}^2={2n choose n })

对于第三点的证明：注意到(sumlimits_{i=0}^n{nchoose i}^2=sumlimits_{i=0}^n{nchoose i}{nchoose n - i})。而(2n choose n)可理解为1、直接从(2n)个元素选(n)个；2、前(n)个元素里选(i)个，后(n)个元素里选(n-i)个。

二项式定理（Binomial Theorem）：对任意非负整数(n)如下等式成立

[(1+x)^n=sumlimits_{k=0}^n{nchoose k}x^k ]

略

当(x=1)时，得到

[{n choose 0}+{n choose 1 }+dots + {n choose n }=2^n ]

当(x=-1)时，得到

[{nchoose 0}-{nchoose 1 } + {n choose 2}-{n choose 3} + dots = sumlimits_{k=0}^n{nchoose k}(-1)^k=0 ]

将上面两式相加，得到

[{nchoose 0}+{nchoose 2}+{nchoose 4}+dots =2^{n-1} ]

带重复元素的排列：有来自(m)类的物品共(n)个，其中第(i)类物品有(k_i)个。即(k_1+k_2+dots+k_m=n)。同一类物品不可区分。那么这(n)个物品所组成的不同排列一共有(frac{n!}{k_1!k_2!dots k_m!})种，记作(n choose k_1,k_2,dots,k_m)，被称为多项式系数。

证明思路同命题4，略。

多项式定理（Multinomial Theorem）：对任意实数(x_1,x_2,dots,x_m)，以及任意自然数(ngeqslant 1)，如下等式成立：

[(x_1+x_2+dots+x_m)^n=sumlimits_{substack {k_1+k_2+dots+k_m=n \ k1,k2,dots,k_mgeqslant 0}}{nchoose k_1,k_2,dots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}dots x_m^{k_m} ]

略（归纳法）

练习题2.3

容斥原理

例：(|Fcup P|=|F|+|P|-|Fcap P|)，(|Scup Fcup P|=|S|+|F|+|P|-|Scap F|-|Scap P|-|Fcap P|+|Scap Fcap P|)。

容斥定理（Inclusion-exclusion principle）：对于任意有限集合(A_1,A_2,dots,A_n)，有

[egin{aligned} left | igcuplimits_{i=1}^nA_i ight | &=sumlimits_{k=1}^n(-1)^{k-1}sumlimits_{substack Iin{{1,2,dots,n}choose k} }left|igcaplimits_{iin I}A_i ight | \ &=sumlimits_{substack emptyset eq I subseteq{1,2,dots,n}} (-1)^{|I|-1}left|igcaplimits_{iin I}A_i ight| end{aligned} ]

数学归纳法：

(n=2)时成立。假设对(n-1)成立，则

[egin{aligned} left | igcup_{i=1}^n A_i ight | &= left | left ( igcuplimits_{i=1}^{n-1}A_i ight )igcup A_n ight |\ &=left | igcuplimits_{i=1}^{n-1}A_i ight |+ left | A_n ight | - left | left ( igcuplimits_{i=1}^{n-1} A_i ight )igcap A_n ight | \ & = left | igcuplimits_{i=1}^{n-1}A_i ight |+left | A_n ight |- left | igcuplimits_{i=1}^{n-1}left(A_icap A_n ight) ight | end{aligned} ]

其中$ left | igcuplimits_{i=1}^{n-1}A_i ight |(和)left | igcuplimits_{i=1}^{n-1}left(A_icap A_n ight) ight |$可由归纳假设推出。

应用1：错排

任给一个(n)，求出(1,2,dots,n)的错排个数(D(n))共有多少个？

解：用(S_n)表示所有({1,2,dots,n})上的排列，则(|S_n|=n!)。令(A_i={piin S_n:pi(i)=i})，那么就有(D(n)=n!-|A_1cup A_2cup dots cup A_n |)。

可以发现(|A_i|=(n-1)!)，如果(i<j)，那么(|A_icap A_j |=(n-2)!)。如果(i_1<i_2<dots<i_k)，那么(|A_{i_1}cap A_{i_2}capdotscap A_{i_k}|=(n-k)!)。

根据容斥原理：

[|A_1cup A_2cupdotscup A_n |=sumlimits_{k=1}^n(-1)^{k-1}{n choose k}(n-k)!=sumlimits_{k=1}^n(-1)^{k-1}frac{n!}{k!} ]

故(D(n)=n!(1-frac{1}{1!}+frac{1}{2!}-dots+(-1)^nfrac{1}{n!}))。

特别的，(limlimits_{n ightarrow infty}D_n=frac{n!}{e})。

应用2：欧拉函数

欧拉函数(phi)：给定自然数(n)，欧拉函数(phi(n))定义为不超过(n)且与(n)互质的自然数的个数。即

[phi(n)=|{min{1,2,dots,n}:gcd(n,m)=1}|=? ]

解：根据整数分解定理，(n)可被唯一地分解成(n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}dots p_r^{alpha^r})，其中$alpha_i geqslant 1 (且)p_i(为素数，)p_1<p_2<dots<p_r$。

如果(1leqslant m < n)，且(m)与(n)不互素，则必存在某个(1leqslant ileqslant r)有(p_i|m)。令(A_i={min {1,2,dots,n}:p_i|m})，则(phi(n)=n-|A_1cup A_2cup dots cup A_r|)。

可以发现(|A_i|=frac{n}{p_i})。当(i<j)时，(|A_icap A_j|=frac{n}{p_ip_j})。当(i_1<i_2<dots<i_k)时，(|A_{i_1}cap A_{i-2}cap dots cap A_{i_k}|=frac{n}{p_{i_1}p_{i_2}dots p_{i_k}})。

所以有(phi(n)=n(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})dots(1-frac{1}{p_r}))。

练习题2.4

函数估计

大O符号

应用范围：寻找精确值困难，转而寻找可接受的估值（estimate）。

函数的渐进比较（Asymptotic comparison）

定义：(f,g:N ightarrow R)是两个从自然数到实数的单变量方程。(f(n)=O(g(n)))表示存在常数(n_0)和(c)，使得对所有(ngeqslant n_0)，不等式(|f(n)|leqslant c imes g(n))成立。

直观地讲，(f)的增长不比(g)快很多。即(limlimits_{n ightarrow} frac{f(n)}{g(n)} ot ightarrow infty)。

例子：(100000=O(1))，((7n^2+6n+1)(n^3+4)=O(n^5))，({nchoose 2}=n(n-1)/2=frac{1}{2}n^2+O(n)=O(n^2))；

(0<alphaleqslant eta Rightarrow n^alpha = O(n^eta))，(forall C > 0, a >1, n^n=O(a^n))，(forall C> 0, alpha > 0, (ln n)^C=O(n^alpha))。

名称	表示	条件	直观含义
大(O)符号	(f(n)=O(g(n)))	(limlimits_{n ightarrow infty}frac{f(n)}{g(n)} ot ightarrow infty)	(f)的增长不比(g)快很多
小(o)符号	(f(n)=o(g(n)))	(limlimits_{n ightarrowinfty}frac{f(n)}{g(n)}=0)	(f)的增长远远慢于(g)
大(Omega)符号	(f(n)=Omega(g(n)))	(g(n)=O(f(n)))	(f)的增长至少和(g)一样快
大(Theta)符号	(f(n)=Theta(g(n)))	(f(n)=O(g(n)))且(f(n)=Omega(g(n)))	(f)和(g)几乎是同一数量级
	(f(n) hicksim g(n))	(limlimits_{n ightarrowinfty}frac{f(n)}{g(n)}=1)	(f(n))和(g(n))几乎是一样的

调和级数（Harmonic number）

定义调和级数(H_n=1+frac{1}{2}+frac{1}{2}+dots+frac{1}{n}=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{n})。

调和级数估值

用数列对调和级数的项做分类。

(1)	(frac{1}{2},frac{1}{3})	(frac{1}{4},dots,frac{1}{7})	(frac{1}{8},dots,frac{1}{15})	(frac{1}{16},dots)	(dots)
((frac{1}{2^1},frac{1}{2^0}])	((frac{1}{2^2},frac{1}{2^1}])	((frac{1}{2^3},frac{1}{2^2}])	((frac{1}{2^4},frac{1}{2^3}])	((frac{1}{2^5},frac{1}{2^4}])	(dots)
(G_0)	(G_1)	(G_2)	(G_3)	(G_4)	(dots,G_t)

其中(G_k={frac{1}{i}|frac{1}{2^k}<frac{1}{i}leqslant frac{1}{2^{k-1}}})。不难发现(|G_k|=2^{k-1})。

同时有：

[egin{aligned} &sumlimits_{xin G_k}xleqslant | G_k|max G_k=2^{k-1} imesfrac{1}{2^{k-1}}=1\ &sumlimits_{xin G_k}xgeqslant |G_k|min G_k>2^{k-1} imes frac{1}{2^k}=frac{1}{2} end{aligned} ]

而(G)的最后一项(G_t)下表(t=lfloor log_2 n floor+1)。

[egin{aligned} left . egin{matrix} H_nleqslant t imes 1leqslant lfloor log_2 n floor +1 \ H_n>(t-1) imesfrac{1}{2}geqslant frac{1}{2}lfloor log_2 n floor end{matrix} ight } Rightarrow H(n)=Theta(log_2 n)=Theta(ln n ) end{aligned} ]

练习题3.1

估值初步：阶乘估值

极点估值（(ngeqslant 2)）：

[egin{aligned} left {egin{matrix} n!=prodlimits_{i=1}^n i leqslant prodlimits_{i=1}^n n = n ^ n \ n!=prodlimits_{i=2}^n i geqslant prodlimits_{i=2}^n 2 = 2 ^ {n - 1 } end{matrix} ight . end{aligned} ]

进一步优化：

[egin{aligned} left { egin{matrix} n!=prodlimits_{i=1}^nileqslant left(prodlimits_{i=1}^{frac{n}{2}}frac{n}{2} ight)left(prodlimits_{i=frac{n}{2}+1}^n n ight)=left(frac{n}{sqrt{2}} ight)^n\ n!=prodlimits_{i=1}^n i geqslant prodlimits_{i=frac{n}{2}}^ni>prodlimits_{i=frac{n}{2}+1}^nfrac{n}{2}=(frac{n}{2})^{frac{n}{2}}=(sqrt{frac{n}{2}})^n end{matrix} ight . end{aligned} ]

高斯估值：

算数-几何均值不等式（Arithmetic-geometric mean inequality）：

[sqrt{xy}leqslant frac{x+y}{2} (x,yin R_+) ]

那么上界：

[n!=sqrt{n!n!}=sqrt{prodlimits_{i=1}^n i(n+1-i)}=prodlimits_{i=1}^nsqrt{i(n+1-i)}leqslant prod_{i=1}^nfrac{n+1}{2}=(frac{n+1}{2})^n ]

同时，我们容易验证有

[i(n+1-i)geqslant n ]

那么下界：

[n!=sqrt{n!n!}=sqrt{prodlimits_{i=1}^n i(n+1-i)}=prodlimits_{i=1}^nsqrt{i(n+1-i)}geqslantprodlimits_{i=1}^nsqrt n = n ^{frac{n}{2}} ]

欧拉数（Euler number）：(e=2.718281828dots)

对于(xin R)，有(1+xleqslant e ^ x)。最终我们会得到(e(frac{n}{e})^nleqslant n! leqslant en(frac{n}{e})^n)。

证明：上界（归纳法）

当(n=1)时，(1geqslant 1!)，结论平凡。设(n=k)时结论成立，那么当(n=k+1)时，

(n!=n(n-1)!leqslant n e(n-1)(frac{n-1}{e})^{n-1}=en(frac{n}{e})^n imes e(frac{n-1}{n})^n)。

而(e(frac{n-1}{n})^n=e(1-frac{1}{n})^nleqslant e(e^{-frac{1}{n}})^n=1)。所以结论成立。

证明：下界（归纳法）

当(n=1)时，(1leqslant 1!)，结论平凡。设(n=k)时结论成立，那么当(n=k+1)时，

(n!=n(n-1)!leqslant n e(n-1)(frac{n-1}{e})^{n-1}=en(frac{n}{e})^n imes e(frac{n-1}{n})^{n-1})。

而(e(frac{n-1}{n})^{n-1}=e(frac{n}{n-1})^{1-n}=e(1+frac{1}{n-1})^{1-n}=eleft((1+frac{1}{n-1})^{n-1} ight)^{-1}geqslant eleft((efrac{1}{n-1})^{n-1} ight)^{-1}=e imes e ^{-1} = 1)。

结论成立。

Stirling公式：(n! hicksim sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^n)，即(limlimits_{n ightarrow infty }frac{sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^n}{n!}=1)。

估值初步：二项式系数估值

显然，有({n choose k}leqslant n ^ k)。当(ngeqslant k > i geqslant 0)时(frac{n-i}{k-i}geqslant frac{n}{k})，故({nchoose k}=prodlimits_{i=0}^{k-1}frac{n-i}{k-i}geqslant (frac{n}{k})^k)。

二项式定理：对(ngeqslant 1,1leqslant k leqslant n)，取(0<x<1)，有({nchoose 0}+{n choose 1}x+dots+{nchoose n}x^n=(1+x)^n)。

显然，({nchoose 0}+{nchoose 1}x+dots+{n choose k}x^k leqslant (1 + x)^n)，故(frac{1}{x^k}{nchoose 0}+frac{1}{x^{k-1}}{nchoose 1}+dots+{nchoose k}leqslant frac{(1+x)^n}{x^k})。

故({nchoose 0}+{nchoose 1}+dots+{n choose k}leqslant frac{(1+x)^n}{x^k})。取(x=frac{k}{n})，因为(1+xleqslant e ^x)，

有({nchoose 0}+{n choose 1}+dots+{nchoose k}leqslant (1+frac{k}{n})^n(frac{n}{k})^kleqslant (e^{frac{k}{n}})^n(frac{n}{k})^k=(frac{en}{k})^k)。

所以({nchoose k}leqslant{nchoose 0}+{nchoose 1}+dots+{nchoose k}leqslant (frac{en}{k})^k)。

直接带入Stirling公式可以得到更好的结果。

图论导引

基本定义

图：图(G)是一个有序对((V,E))，其中(V)是一个集合，被称为顶点集，(E)是一组由二元(V)元素组成的集合，称为边集，即(Esubseteq {V choose 2})。为方便常用(V(G),E(G))来分别表示“(G)的顶点集”和“(G)的边集”。

画图（drawing）：

阶（Order）：图顶点的个数，即(|V|)，亦常用(|G|)表示。若(e={u,v}in E)，则称点(u)和(v)在图(G)中是相邻的（adjacent），或称(u)是(v)的邻居（neighbor）。此时亦称(e)和(u,v)相关联（incident）。

显然的，一条边与且仅与两个顶点相关联。

常用(N(u))表示与顶点(u)相邻的点集。下图的(|G|=4,N(v_1)={v_1,v_2,v_3,v_4})。

顶点的度：给定图(G=(V,E),vin V)，定义该顶点在图(G)中的度（degree）为$deg_G v=|u:{u,v}in G|=|N(v)| (。一般地，)delta(G)(表示图)G(的最小度，)Delta(G)(表示图)G(中的最大度。显然)deg_G(v)leqslant |E|$。

chy-2003注：这里的度似乎没有考虑重边，而下面提到的欧拉图考虑了重边。

上图中(delta(G)=1)，(Delta(G)=4)。

无向图（undirected graph）：上面讨论的都是无向图。无向图的边由集合表示(e={u,v})。

有向图（directed graph）：有向图的边由点对表示(e=(u,v))，(u)称为边(e)的起点或尾（tail），(v)称为边(e)的终点或头（head）。

除显式声明外，一般图为无向图。

子图：定义已有图(G)和(G')，若(V(G)subseteq V(G'))且(E(G)subseteq E(G'))，那么称(G)是(G')的子图（subgraph）。

若在子图基础上还有(E(G)=E(G')cap {V(G) choose 2})，则(G)是(G')的导出子图（induced subgraph）。

若在子图基础上还有(V(G)=V(G'))，则(G)是(G')的生成子图（spanning subgraph）。

图上基本操作：

• (Gcup {e_{ij}},G+e_{ij})：在图(G)中增加边(e_{ij}={v_i,v_j})。
• (Gackslash {e_{ij}},G-e_{ij})：在图(G)中删除边(e_{ij}={v_i,v_j})。不断进行这个操作可以得到任意生成子图。
• (Gackslash overline E,G-overline E)，其中(overline E subseteq E(G))：从图(G)中删去(overline E)中所有的边。
• (Gackslash {v},G-v)：从图(G)中删去顶点(v)及其关联的边。不断进行这个操作可以得到任意导出子图。
• (Gackslash overline V,G-overline V)，其中(overline V subseteq V(G))：从(G)中删去(overline V)中的所有顶点及与这些点相关联的边。

特殊图

路径图（path (P_n)）：(V={0,1,dots,n},E=left{{i-1,i}:i=1,2,dots,n ight})。

环（cycle (C_n)）：(V={1,2,dots,n},E=left{{i,i+1}:i=1,2,dots,n-1 ight} cup left{{1,n} ight})。

二分图（Bipartite graph (B_{n,m})）：(V={u_1,dots,u_n}cup{v_1,dots,v_m},Esubseteq left{{u_i,v_j}:i=1,dots,n,j=1,dots,m ight})。

完全图（Complete graph (K_n)）：(V={1,2,dots,n},E={Vchoose 2 })。

完全二分图（Complete bipartite graph (K_{n,m})）：

(V={u_1,dots,u_n}cup{v_1,dots,v_n},E={{u_i,v_j}:i=1,dots,n,j=1,dots,m})

正则图：如果图中所有顶点的度数都是一个常值(r)，则称该图为(r-)正则图（r-regular graph）。

0-正则图：空图；

1-正则图：不相邻的边（集）；

2-正则图：不相交的环（集）；

3-正则图：又称为立方图（cubic graph）。

简单图：

对于无向图(G=(V,E))，自环（loop）：(ein E)，如果(e={v,v})，其中(vin V)则称(e)是一个自环。重边（Multiedge）：(e_1,e_2in E)且(e_1=e_2={u,v})，其中(u,vin V)，则称(e_1,e_2)是重边。简单图（simple graph）：没有重边和自环的无向图。

路径（Path）：不允许环，各个顶点和边至多出现一次。

游走（Walk）：允许环，顶点和边可重复。

连通图（connected graph）：如果图(G)上任意两点(u,v)之间都有至少一条路径，则称(G)是一个连通图。否则称为非连通图（disconnected graph）。

极大连通子图：给定图(G)，定义(G)的极大联通子图：

• 是原图的子图；
• 是连通图；
• 已经等于原图或再扩大（增加顶点或边）则成为非连通图。

连通分支（component）：图(G=(V,E))的极大连通子图也被称为图(G)的连通分支。连通分支可能不唯一，图(G)的极大连通分支的个数用(Con(G))表示。

树（tree）：无环联通图被称为树。

练习题4.1

握手定理

问题引入1：在宴会上一共有(n)个人，他们中一些人互相握手，已知每人握手(a)次，问握手总次数(S)为多少？ (S=frac{n imes a}{2})

问题引入2：在宴会上一共有(n)个人，他们中一些人互相握手。已知握手的次数依次为({h_1,h_2,dots,h_n})次。问握手总次数(S)为多少？(S=frac{sumlimits_{i=1}^n h_i}{2})。

顶点的度：前面已经提到过顶点的度的概念，那么有如下几个显然的结论：

• (deg _G(v)leqslant |E|)。
• (G=P_n)，则(1leqslant deg_G(v)leqslant 2)。
• (G=C_n)，则(deg_G(v) = 2)。
• (G=K_n)，则(deg_G(v)=n-1)。

握手定理（Handshaking theorem, Leonhard Euler 1736）：给定无向图(G=(V,E))，以下等式成立

[sumlimits_{vin V} deg_G(v)=2|E| ]

一条边与两个顶点相关联，在对(deg_G(v))做累加时，每条边被使用到两次。对其他边计数有类似推理。故等式成立。

推论：无向图中，度数为奇数的点一定有偶数个。

图同构（graph isomorphism）

若对图(G=(V,E))及图(G'=(V',E'))，存在双射函数(f:V ightarrow V')，满足对任意(x,yin V)，都有({x,y}in E)当且仅当({f(x),f(y)}in E')。那么我们称图(G)和图(G')是同构的。用符号(Gcong G')表示图同构。

直观地讲，同构图之间，仅仅是顶点的名字不同。

图的计数：

问题：以集合(V={1,2,dots,n})中的元素为顶点构造图(G=(V,E))，其中(Esubseteq {V choose 2})。求问能构成多少个图？

解： (|{V choose 2}|={nchoose 2})为(K_n)的边数。每条边可能在图中，也可能不在图中，故以(V)为顶点的图共有(2^{nchoose 2})种。

问题：以集合(V={1,2,dots,n})中的元素为顶点构造图(G=(V,E))，其中(Esubseteq {V choose 2})。求问能构成多少个不同构的图？

例：三个顶点所组成互不同构的图共有(4)种。

解：显然，答案不会超过(2^{n choose 2})。而一个(n)个点的图至多与(n!)个不同的图同构。于是如果记答案为(X)，那么有

[frac{2^{nchoose 2}}{n!}leqslant X leqslant 2^{n choose 2} ]

然后对上下界进行估值：

[egin{aligned} log_2 2 ^{nchoose 2}&={nchoose 2}=frac{n^2}{2}(1-frac{1}{n})\ log_2 frac{2^{n choose 2 } }{ n !} &= {n choose 2} - log_2 n geqslant {nchoose 2} - log_2 n ^ n = frac{n^2}{ 2 }(1-frac{1}{n}-frac{2log_2 n}{n}) end{aligned} ]

于是就有

[X=Theta(2^{frac{n^2}{2}}) ]

练习题4.2

欧拉图

欧拉图（Eulerian graph）：如果从图(G=(V,E))上的某一点(v)出发，存在沿图(E)中边的一个连续游走（walk），该游走覆盖所有的顶点，且用到(E)中每条边一次且仅一次，最后回到点(v)，则称(G)是欧拉图。其中闭合的游走被称为一条欧拉回路（Euler tour）。

欧拉图的判定：欧拉图定理：图(G=(V,E))是欧拉图当且仅当图(G)是连通图，且每个顶点的度数都是偶数。

必要性证明：

欧拉图必然是连通的。

而每个点的度数都是偶数：由于要求是回路，那么对于一个点，进入一次必然会离开一次。

充分性证明：

考虑图(G)中最长的边不重复的游走方案(T=(v_0,e_1,v_1,dots,e_m,v_m))。由于(T)已经最大，所以所有与(v_m)相关联的边都已含在(T)中。且已知(v_m)的度数为偶数，如果(v_m)出现在游走方案中间(T=(v_0,e_1,v_1,dots,e_i,v_m,e_{i+1},dots,v_m))，那么中间的每个(v_m)对(v_m)的度数贡献是(2)。出现在末端的(v_m)对(v_m)的度数贡献为(1)。而又由于(v_m)的度数为偶数，则(v_0=v_m)。也就是说(T=(v_m,e_1,v_1,dots,e_m, v_m))。所以(T)是回路。

若(T)不是欧拉回路，由于(G)是连通图，所以必然存在(e={u,v})，(e)不包含在(T)中，但又与(T)中的某个点(v=v_i)相关联。这样的话(|u,e,v_i,e_{i+1}dots,e_i,v_i|=|T|+1)与(T)的最长性矛盾。所以(T)是欧拉回路。

进一步的问题：对图(G=(V,E))，是否存在一个连续的游走方案，使(E)中的每条边(e)在方案中恰好出现一次。对于非欧拉图，若存在则必然不是欧拉回路，这样的游走方案被称为欧拉道路。

定理：图(G=(V,E))中存在欧拉道路当且仅当图(G)是连通的且或者1、所有顶点度数都为偶数，或者2、除(2)个顶点度数为奇数外，其余顶点的度数都是偶数。且度数为奇数的两个点必为欧拉道路的起点和终点。

情况2的充分性证明：

设度数为奇数的两个点为(u,v)，在(u,v)之间增加边(e={u,v})，那么(G+e)就是欧拉图。这个图的欧拉路径必然会用到边(e)。去掉(e)后就得到了以(u,v)为起点和终点的欧拉道路。

有向欧拉图

有向图的入度（indegree）：(deg_G^+(v)=|u:(u,v)in E|)；

有向图的出度（outdegree）：$deg_G^-(v)=|u:(v,u)in E| $；

chy-2003注：这里的定义似乎同样不能有效地表示重边。

有向图的对称化（symmetrization）：给定有向图(G=(V,E))，定义(sym(G)=(V,overline E))，其中(overline E = {{x,y}:(x,y)in E vee (y,x)in E})。

性质：有向图(G=(V,E))含欧拉环（即依边集(E)的方向的一个连续游走方案，用到所有的边正好一次）的充分必要条件是(sym(G))是连通图且对(V)中所有点(v)都有(deg_G^+(v)=deg_G^-(v))。

证明：同无向图欧拉定理。

编码盘

问题：一个编码盘的底盘可转动且分成(16)个相等的扇面。每个扇面上写入(0)或者(1)，顶部四个位置的扇面可见。顺时针读取当前可见扇面的值，为一个(4)位二进制输出。试问底盘上的(16)个二进制数的序列应如何设置，使得转动编码盘底盘正好能输出所有的(4)为二进制编码？

分析：

如果当前的状态为(a_1a_2a_3a_4)，逆时针方向旋转一个扇面，那么新的输出是(a_2a_3a_4a_5)。定义如下点集和有向边：点((a_{i-1}a_ia_{i+1}),(a_i,a_{i+1},a_{i+2}))，有向边(a_{i-1}a_ia_{i+1}a_{i+2}=((a_{i-1}a_ia_{i+1}),(a_ia_{i+1}a_{i+2})))。

不难发现(|V|=2^3=8)，(deg_G^+(v)=deg_G^-(v)=2)。

我们可以画出整个图

于是存在有向欧拉回路，如

[0000,0001,0010,0101,\1010,0100,1001,0011,\0110,1101,1011,0111,\1111,1110,1100,1000\ ]

于是我们就能得到一种答案：

(0000101001101111)

练习题5.1

哈密顿图与Ore定理

背景：(19)世纪英国数学家哈密顿（Sir William Hamilton）提出问题：正凸(12)面体，把(20)个顶点比作世界上(20)个城市，(30)条棱表示这些城市间的交通路线。问，能否周游整个世界，即从某个城市出发，经过每城市一次且只一次，最后返回出发地。

哈密顿回路（Hamiltonian cycle）：如果一个环经过图上所有点正好一次，则此环被称为哈密顿环。

哈密顿图（Hamiltonian graph）：含有哈密顿环的图被称为哈密顿图。

哈密顿道路（Hamiltonian path）：如果一条路径经过图上所有点正好一次，则此路径被称为哈密顿道路。

注意：讨论哈密顿图相关的时候一般指简单图。因为重边和自环显然没有用。

判断哈密顿图的充分（不必要）条件：

定理[Dirac 1952]：(|G|=ngeqslant 3)，且(delta(G)geqslant frac{n}{2})，则图(G)一定是哈密顿图。

因为(delta(G)geqslant frac{n}{2})，图(G)必为连通图。（若不是连通图，则取顶点个数最少的连通分支(G')，必有(delta(G')<|G'|leqslant frac{n}{2})。）

取(G)中最长路径(P=x_1dots x_k)。显然有(N(x_1)subseteq P,N(x_k)subseteq P)。

取(iin [1,dots,k-1])，(kleqslant n)，其中

[egin{aligned} left { egin{matrix} left | i:{x_i,x_k}in E(G) ight | geqslant frac{n}{2}\ left | i:{x_1,x_{i+1}}in E(G) ight | geqslant frac{n}{2} end{matrix} ight. end{aligned} ]

如果记第一个集合为(A)，第二个集合为(B)，那么显然有(|A|+|B|>n)。也就是说存在一个(i)，使(x_i)与(x_k)相邻且(x_{i+1})与(x_1)相邻。那么我们构造(x_1x_{i+1}Px_kx_iPx_1)是一个环。而由于(P)的最大性，(P)经过了图(G)中所有顶点，所以图(G)是哈密顿图。（这一部分证明与欧拉图中类似，不再重复。）

注意：这个定理不是必要条件。

判断哈密顿图的充分（不必要）条件：

定理[Ore 1960]：图(G=(V,E))，(|G|=ngeqslant 3)。对任意不同(u,vin V)，若(u,v)不相邻，则(deg_G(u)+deg_G(v)geqslant n)。满足以上条件的图(G)是哈密顿图。

证明：与上一个证明类似，略。

显然，Dirac定理是Ore定理的特例。

注意：这个定理不是必要条件。

引理：图(G=(V,E))，(|G|=ngeqslant 3)。若存在不相邻的点(u,vin V)且(deg_G(u)+deg_G(v)geqslant n)，则(G=(V,E))是哈密顿图当且仅当(G'=(V,Ecup{{u,v}}))是哈密顿图。

必要性显然。

充分性：（反证法）

若(G')中有哈密顿回路而(G)中没有，则(G')中的哈密顿回路(P)必经过边(e={u,v})。

(P-e)是以(u,v)为始点和终点的哈密顿道路。接下来证明(deg_G(u)+deg_G(v)<n(*))。

若(deg_G(u)+deg_G(v)geqslant n)，则同Dirac定理的证明，从(P-e)可构造不含(e)的哈密顿回路，与假设矛盾。

((*))与命题前提矛盾，故假设错误。即(G)为哈密顿图。

判断哈密顿图的必要（不充分）条件：

定理：如果图(G=(V,E))是哈密顿图，则对所有非空子集(Ssubseteq V)，必然有(Con(G-S)leqslant|S|)。

设(C)是图(G)中的一条哈密顿回路，易验证对于(v)的每个非空子集(Con(C-S)leqslant |S|)。

而(C-S)是(G-S)的生成子图，故(Con(G-S)leqslant Con(C-S) leqslant |S|)。

练习题5.2

握手定理的应用（一）： Smith定理

定理（Smith）：对(3)正则图，包含图上任意边的哈密顿回路必有偶数条。

证明：（Thomason 1978）

思路：选取图(G)中任意一条边(e)，构造图(G')，使图(G')中的顶点的度数为(1)或(2)。当顶点度数为(1)时，能证明原图(G)中必有一条含(e)的哈密顿回路。由于(G')受到握手定理限制，所以(G')中必然存在第(2)个点度数为(1)。而因为对应关系，原始图(G)中必存在另一条哈密顿回路。

过程：图(G)是(3)正则图，(e={v_1,v_2})是一条固定的边。为了不失一般性，假设原图中存在含有(e)的哈密顿回路。

构造图(G'=(V',E'))。

(V')中的每一个点，代表一条从(v_1)开始，以(e)为第一条边的哈密顿路径。（由前提假设，知(V')非空。）

接下来构造(E')。(v_Pin V')代表哈密顿路径(P=v_1,v_2,dots,v_n)。由于(v_n)在(G)中度数为(3)，故必存在(1<k<n-1)满足({v_k,v_n}in E(G))。于是可构造另一条路径(P'=v_1v_2dots v_kv_nv_{n-1}dots n_{k+1})是哈密顿路径。令({v_P,v_{P'}}in E')。

(G')中任意(v_P)的度数至多为(2)：(deg(v_P)=1)当且仅当原始用到的哈密顿路径实际上是图(G)中的一个哈密顿回路。（因为(v_n)和(v_1)相邻，就只能构造出一个(1<k<n-1)满足({v_k,v_n}in E(G))。反之(deg(v_P)=2)。

根据握手定理，度数为奇数的点必有偶数个。故必存在另一点(deg(v_Q)=1)。

例子：

如图，假设我们固定(e={1,2})。一开始获得路径(12348765(1))。(8)与(5)相邻，我们可以得到(12348567)。(7)和(3,8)响铃，能得到(12348765)和(12376584(1))。前者重复，不再考虑，而后者是另一条哈密顿回路。

握手定理的应用（二）：Sperner引理

Sperner引理（平面）：已知平面上的一个三角形(ABC)，任意划分成若干小的不重叠三角形，用红黄蓝三色依次对(A)、(B)、(C)三个顶点着色。然后这样对剩余顶点着色：

• (BC)边上的点用黄色或者蓝色；
• (AB)边上的点用红色或者黄色；
• (AC)边上的点用红色或者蓝色；
• 对余下的内部顶点任意着色。

这样必然存在一个三个顶点不同色的小三角形。

Sperner's lemma 的证明：

构造图(G=(V,E))：

(V)：每个闭合的连续平面（小三角形）抽象为一个点，外面的开放平面也抽象为一个点，记为(v)。

(E)：两个点之间有一条边，当且仅当原对应平面相邻且相邻边顶点着色为红和蓝。

接下开考虑(G)中顶点的度数：

(V)在(ABC)内（非点(v)）度数非(0)的情况：

1、三个顶点分别为红黄蓝；2、三个顶点两红一蓝；3、三个顶点两蓝一红。

其余情况度数均为(0)。

(V)在(ABC)外的点（点(v)）的度数就是(AC)边上的颜色改变次数。易证其必为奇数。

根据握手定理，(G)中必还有度数为奇数的点，即情况1必然发生。

Sperner's lemma的完整形式（sperner 1928）：对任意(n)维单形体（n-simplex）进行分割并用(n+1)中颜色去着色，则任何合适的单形分割着色方案下，都必有一个包含所有不同颜色的单元。(n=1)时，是两端颜色不同的线段，(n=2)就是上面所述的情况，(n=3)时是四面体……

练习题5.3

树

树的刻画

叶子（leaf）：图(G)中度数为(1)的顶点被称为叶子或者终点（end-vertex）。

引理：对任意树(T)，如果(|T| geqslant 2)，则(T)必含至少两个终点。

取(T)中的一条极长路径(P)，则因为(T)中没有环，且(P)极长，所以(P)的两端即为终点。

树的生长引理（Tree-growing lemma）：对图(G)及图(G)上的叶子节点(v)而言，图(G)是树当且仅当图(G-v)是树。

充分性证明：

由于(G)无环，那么(G-v)显然也无环。而对图(G)中任意不为(v)的点对(x,y)，(x)到(y)的路径不经过点(v)，所以(G-v)连通。

必要性证明：

由于(deg(v)=1)，且(G-v)无环，那么图(G)也无环。

假设加入的边为({u,v})，那么对于(G-v)任何点(x)，都有路径(v)到(u)到(x)可达。所以图(G)连通。

树的等价刻画：对于图(G=(V,E))而言，以下称述等价：

• 图(G)是树。
• 路径唯一：对任意两点(u,vin V)，存在从(u)到(v)的唯一路径。
• 最小连通图：(G)是连通图，且去掉任意一条边后都成为非连通图。
• 最大无环图：(G)不含环，但增加任何一条边所得到的图(G+e)（其中(ein {V choose 2}ackslash E)）中含有一个环。
• Euler方程：(G)是连通图，且(|V|=|E|+1)。

下面证明第1条和第5条等价。

1蕴含5：（归纳法）

连通性显然。当(|V|=1)时，结论成立。假设当(|V|=n)时成立，当(|V|=n+1)时，根据树的生长引理，去掉一个叶子后仍是一棵树。根据归纳假设，这时结论成立。而加回这个点会使点数和边数同时增加(1)，所以结论假设成立。

5蕴含1：（归纳法）

当(|V|=1)时，结论平凡。设(|V|=n)时结论平凡。当(|V|=n+1=|E|+1geqslant 2)时，根据握手定理，图(G)中顶点度数之和为(2|V|-2)。故图(G)中必然存在度数小于(2)的顶点。且图(G)是连通图，任何顶点的度数非(0)，所以存在度数为(1)的点，记为(v)。

考虑(G'=G-v)，易验证归纳假设条件成立。根据归纳假设，(G')是树。根据树的生长定理，(G)也是树。

练习题6.1

有根树同构

有根树（Rooted tree）：二元组((T,r))中(T)表示一棵树，(rin V(T))表示树上的一个特别顶点称为根（Root）。约定在节点上画向下箭头标明。

对树上的一条边({x,y}in E(T))。如果(x)是出现在从根(r)到(y)的唯一路径上，则称(x)是(y)的父亲（Father），相应地称(y)是(x)的儿子（son）。

一般的图之间，图的同构问题尚无有效的算法；而有根树之间的同构有快速算法。

定义：((T,r)cong' (T',r'))当且仅当(f:V(T) ightarrow V(T'))是(Tcong T')且(f(r)=r')。

显然，(cong')关系严格强于(cong)。

思路：将树的比较转化为字符串比较。

字符串比较：字典序（Lexicographic order）：对不同的序列(s=s_1s_2dots s_n)和(t=t_1t_2dots t_m)。如果(s)是(t)的初始序列（即(t=st_{n+1}dots t_m)），则(s<t)；如果(t)是(s)的初始序列（即(s=ts_{m+1}dots s_n)），则(t < s)。否则令(i)是(s_i eq t_i)的最小下标，若(s_i<t_i)，则(s<t)；若(s_i>t_i)，则(s>t)。

过程：对有根树((T,r))如下编码：

R1：所有非根叶节点都赋值为(01)。

R2：假设点(v)的儿子节点为(w_1,w_2,dots, w_k)都已各完成赋值，为(A(w_i))，且(A(w_1)leqslant A(w_2)leqslant dots leqslant A(w_k))。则对(v)节点赋值为(0A(w_1)A(w_2)dots A(w_k)1)。

根节点(r)的编码就是((T,r))的编码，用(#(T,r))表示。

性质：((T,r)cong'(T',r'))当且仅当它们具有相同的编码。

充分性：从有根树同构的定义和编码可证。

必要性：解码。从编码恢复原始的树结构。任意有根树的编码必然有(0S1)的一般形式，其中(S=S_1S_2dots S_t)。(S_1)是(S)中(0,1)个数相等的最小前缀，(S_2)是第二个(0,1)平衡的最小前缀……可以根据此恢复出有根树，且显然这样的有根树必然是同构的。

树同构的判定

一般的树之间的同构也有快速的算法。

对一般树（无根树），找到其中可以用作根的节点，且该节点在任何同构函数下都被保持。

距离（Distance）：图(G)中的两个顶点(u,v)，(dis_G(u,v))表示(u,v)之间的最短路径的长度。若(u,v)不在一个连通分支里，定义(dis_G(u,v)=infty)。

偏心率（Excentricity）：图(G)及图中的顶点(v)，偏心率定义为：(ex_G(v)=maxlimits_{uin G} dis_G(u,v))。

中心（center）：图(G)中偏心率最小的顶点集合叫做中心，用符号(C(G))表示。中心可能任意大，例如环和完全图的(C(G)=V(G))。

性质：对树(T=(V,E))，(C(T))含至多两个顶点，且若(C(T)={x,y})，则({x,y} in E)。

若(|T|leqslant 2)，结论显然，否则利用树的特殊性：与树上任意一点(v)距离最远的点必然是叶子节点，

从(T)构造(T')：(T')是从(T)中删去所有叶子节点。显然对(T')上的点(v)有(ex_T(v)=ex_{T'}(v)+1)。进而(C(T')=C(T))；

反复以上过程，直至最后剩下一个顶点（(C(T))是一个顶点）或一条边（(C(T))是两个顶点）。

用树的中心来完成树到有根树的转化：

(|C(T)|=1)，则中心(v)就是根，输出(#(T,v))。

(|C(T)|=2)，(C(T)={x_1,x_2},e={x_1,x_2})，(T-e)必然含有正好两个连通分支(T1,T2)。不失一般性，设(x_1in V(T_1),x_2in V(T_2))。计算(#(T_1,x_1),#(T_2,x_2))，若(#(T_1,x_1)leqslant #(T_2,x_2))，输出(#(T,x_1))，否则输出(#(T,x_2))。

(#T)为以上过程的输出。

性质：(Tcong T')当且仅当(#Tcong' #T')。

证明：与有根树类似。

练习题6.2

生成树计数

生成树（Spanning tree）：对连通图(G=(V,E))，生成树是包含(G)中所有顶点且为树的子图。

问题：(K_n)的生成树共有多少种？（(K_n)为有(n)个顶点的完全图。）

特殊情况：(n=2)时，有(1)种生成树；(n=3)时，有(3)种生成树；(n=4)时，有(4+12=16)种；(n=5)时，有(5+60+60=125)种；(n=6)时，有(6+360+120+90+360+360=1296)种。

Caley定理（Caley's formula）：(K_n)的生成图个数是(n^{n-2})个。

• 定义1：函数图（function graph）：(f:V ightarrow V)。如下面的函数：

(v)	1	2	3	4	5	6
(f(v))	3	4	5	1	2	2

不难发现函数与函数图一一对应。当(|V|=n)时共有(n^n)种不同的函数图。

• 定义2：脊椎动物（Vertebrate）骨骼标本：三元组((T,h,b))被称为骨骼标本若其中(T)是一棵树且(h,bin V)。(h)被称为颈椎骨，(v)被称为尾椎骨。注意：(h,b)除了必须是树上节点外没有任何要求（可重合）。

• 定义3：脊椎（Spine）：出现在从颈椎骨到尾椎骨的路径上的点被称为脊椎。

• 证明过程：

  用(T_n)表示(K_n=(V,E))的生成树个数。每一棵树对应(n^2)种骨骼标本。我们希望证明骨骼标本与(V)上的函数图一一对应，有(n^n)种。如果如此，那么(T_n=frac{n^n}{n^2}=n^{n-2})。接下来证明骨骼标本与(V)上的函数图一一对应。

  从骨骼标本对应到函数图：

  让脊椎上的点被从小到大排序后对应位置的点指向。也就是说，如果依次有点(8,3,2,19,4,6)，那么就有如下对应关系：

  (v)	2	3	4	6	8	19
  (f(v))	8	3	2	19	4	6

  （也就是说上面一行是下面一行排序后的结果。）这样得到了若干个环。然后再将剩余的点向环连边。如果上面的例子中还有(e_1={1,2})和(e_2={5,1})，那么(f(5)=1)，(f(1)=2)。

  这样，骨骼标本就与函数图一一对应了。

  接下来证明函数图与骨骼标本一一对应：

  显然函数图中必然有环。我们找出所有的环，然后将环上的点如上表这般从小到大写在第一行，然后根据函数图中的对应关系写出第二行。那么第二行从左至右就是骨骼标本的颈椎骨到尾椎骨了。最后加入剩下的点，就可以得到与之对应的骨骼标本。

  这样一来，我们证明了骨骼标本与函数图一一对应。所以(T_n=n^{n-2})成立。

最小生成树

带权图（weighted graph）：(G=(V,E,w))是带权图，其中((V,E))是无向图，(w)是对边的赋值的集合，即边的权重。

有时使用(w(G))表示(sumlimits_{ein E} w(e))。

最小生成树（Minimum spanning tree）：给定带权图(G)，最小生成树是((V,E))的生成树中代价最小的树。最小生成树不一定唯一。

Caley定理（Caley's formula）：(n)个顶点能构成的不同生成树共有(n^{n-2})种。

Kruskal算法：

• 输入：连通带权图(G_w=(V,E,alpha))。
• 输出：最小生成树(T)。
• 算法流程：

• 正确性证明：

每次加边减少一个连通分支，而原图是连通图，所以(n-1​)次之后就变成了一个连通分支，算法结束。而对于任何生成树(T_0^*​)，用(e={u,v}​)表示被算法加入的第一条不在(T_i^*​)中的边。把(e​)加入(T_i^*​)必然产生环。(T_i^*​)中(u​)到(v​)的路径上必然存在一条不在(T​)中的边(e'​)，且(w(e')geqslant w(e)​)。更新(T_{i+1}^*=(T_i^*{e'})cup {e}​)。那么显然(w(T_{i+1}^*)leqslant w(T_i^*)​)，最终能得到(Tlhd T_{i+1}^*​)。正确性得证。

Prim算法：

• 算法流程：

• 正确性证明：

显然算法会在有限步后结束，因为每一步我们都减少了一个连通分支。而由于每次加入的边跨两个集合，所以一定不会有环。算法的过程是在不断地生长一棵树，所以输出一定是一棵树。那么我们只需要证明这棵树是最小生成树就好了。

任何一棵原图的生成树(T_0^*)。用(e={u,v})表示被算法加入的第一条不在(T_i^*)中的边。把(e)加入(T_i^*)必然有环，(T_i^*)中(u)到(v)的路径上必然存在一条不在(T)中的边(e')，且(w(e')geqslant w(e))。更新(T_{i+1}^*=(T_i^*{e'})cup {e})。那么显然(w(T_{i+1}^*)leqslant w(T_i^*))，最终能得到(Tlhd T_{i+1}^*)。正确性得证。

练习题6.3

网络流

基本概念

流网络（Flow network）：((G,s,t,c))，其中(G=(V,E))是有向图，源点（Source）(s)，汇点（Sink）(t)和容量函数（Capacity function）：(forall ein E,c(e)in R,c(e)>0)。

割（Cut）：顶点集(V)被划分为两个集合(A,B)，其中(sin A, t in B)。常用({A,B})表示割。

容量（Capacity）：从集合(A)到集合(B)的边的容量之和。(c(A,B)=sumlimits_{uin A, v in B} c(u,v))。

最小割（Min-cut）问题：寻找容量最小的割。

流（Flow）：给定流网络((G,s,t,c))，流函数(f:V imes V ightarrow R)满足如下条件：

• (f(u,v)leqslant c(u,v))（Capacity constraint，流量限制）；
• (f(u,v)=-f(v,u))（Skew symmetry，对称性）；
• (sumlimits_{vin V}f(u,v)=0)对任意(vin Vackslash{s,t})成立（Flow conservation，流量平衡）；
• 一个流的值被定义为从源点出发的流量之和(|f|=sumlimits_{vin Vackslash {s}}f(s,v))。

最大流（Max-flow）问题：寻找值最大的流。

对流函数(f)，经过割({A,B})的流用(f(A,B))表示：(f(A,B)=sumlimits_{uin A,vin B}f(u,v))。

同时，(f(u,B) riangleq f({u},B))，(f(A,v) riangleq f(A,{v}))。

性质1：对给定流网络((G,s,t,c))上的任意割({X,Y})以及流(f)，(|f|=f(X,Y))。

证明：对(|X|)做归纳。

当(X={s})时，由流的定义，结论成立。假设对割({X,Y})结论成立。对任意(win Yackslash {t})，考察新割({X',Y'}={Xcup {w},Yackslash {w}})：

[egin{aligned} f(X',Y')&=f(X,Y)+f(w,Y)-f(X,w)-f(w,w)\ &=f(X,Y)+f(w,Y)+f(w,X)-0\ &=f(X,Y)+f(w,V)\ &=f(X,Y)+0\ &=|f| end{aligned} ]

上述结论同样说明：

[egin{aligned} |f|&=sumlimits_{vin Vackslash {s}}f(s,v )\ & = f(s,Vackslash {s})\ & = f(Vackslash {t},t)\ & = sumlimits_{vin Vackslash {t}}f(v,t) end{aligned} ]

性质2：最大流值小于等于最小割容量。

证明：对流函数(f)，对任意(s-t)割({A,B})：

[egin{aligned} |f|&=f(A,B)\ &=sumlimits_{uin A, vin B}f(u,v)\ &leqslant sumlimits_{uin A, vin B,f(u,v)geqslant 0}f(u,v)\ &leqslant sumlimits_{uin A, vin B} c(u,v)\ &=c(A,B) end{aligned} ]

最大流最小割定理

剩余图（Residual graph）：

对于流网络((G,s,t,c))，其中(G=(V,E))。定义：

• 原始边(e={u,v}in E)，剩余边（Residual edge）$e={v,u} $。

• 关于流(f)的剩余容量（Residual Capacity）：

  [egin{aligned} c_f(e)=left{egin{matrix} c(e)-f(e) & if\,\,\,\,ein E\ f(e) & if\,\,\,\,e^Rin E end{matrix} ight. end{aligned} ]

• 剩余图：(G_f=(V,E_f))：关于流(f)的剩余流量为正的剩余边，及相应正剩余容量。

  即：(E_f={e:f(e)<c(e)}cup{e^R:f(e)>0})。

定义流的加法：(f)是(G)上的流，(f')是关于流(f)的剩余图(G_f)上的流，对所有(u,vin V)，定义

((f+f')(u,v)=f(u,v)+f'(u,v))。

性质：(f)是(G)上的流，(f')是关于流(f)的剩余图(G_f)上的流，则(f+f')也是(G)上的流。

证明：定义(g=f+f')。

容量限制：

[egin{aligned} g(u,v)&=f(u,v)+f'(u,v)\ &leqslant f(u,v)+(c(u,v)-f(u,v))\ &=c(u,v) end{aligned} ]

对称性：

[egin{aligned} g(v,u)&=f(v,u)+f'(v,u)\ & =-f(u,v)-f'(u,v)\ &=-(f(u,v)+f'(u,v))\ &=-g(u,v) end{aligned} ]

流量平衡：

对(forall vin Vackslash {s,t})，有(sumlimits_{vin V}f(u,v)=0,sumlimits_{vin V}f'(u,v)=0)。故

[egin{aligned} sumlimits_{vin V}g(u,v)=sumlimits_{vin V}(f(u,v)+f'(u,v))=0 end{aligned} ]

扩流路径（Augmenting Path）：对流网络(G)和流(f)，剩余图(G_f)中(s)到(t)的简单路径(P)。

流量瓶颈（Bottleneck capacity）：扩流路径(P)各边在(G_f)中的最小剩余容量值，记为(b)。

扩流：沿路径(P)扩流（(Augment(f,P))）：对所有(ein P)，如果(ein E)，(f^+(e)=f(e)+b)；如果(e^Rin E)，(f^+(e)=f(e)-b)。对所有(e ot in P)，(f^+(e)=f(e))。

最大流最小割定理（Max-flow min-cut theorem）：对流网络((G,s,t,c))以及该网络上的流(f)，如下三个命题互相等价：

1、存在一个割({A,B})，有(c(A,B)=|f|)；

2、流(f)是原流网络中的一个最大流；

3、不存在相对于流(f)的扩流路径。

证明：

(1 ightarrow 2)：对任意割({A,B})和流(g)，有(|g|leqslant c(A,B))。故(c(A,B)=|f|)蕴含(|g|leqslant |f|)，即(f)是最大流。

(2 ightarrow 3)：如果存在相对于流(f)的扩流路径，则可沿(P)扩充，得到一个值更大的流。

(3 ightarrow 1)：若命题(3)成立，设(A)是从(s)出发沿剩余图(G_f)可达到的所有点，(B=Vackslash A)。则(G_f)中不含从(A)到(B)的路径，故原图从(B)到(A)的边的流为(0)。类似的，原图上从(A)到(B)的所有边(e)，都有(f(e)=c(e))。此时(c(A,B)=f(A,B)=|f|)。

Ford-Fulkerson最大流算法：

分析：若容量函数取值为整数，设((G,s,t,c))的最大流为(f^*)，则Ford-Fulkerson算法运行过程中至多迭代(|f^*|)次。

改进的算法：

对((G,s,t,c))，(G=(V,E))，(n=|V|)，(m=|E|)。

• Edmonds-Karp Algorithm: (O(nm^2))。要点：使用最短路径算法来选择下一条扩流路径。
• Dinic's Algorithm: (O(n^2m))。要点：改进Edmonds-Karp Algorithm，使用了Blocking flow（而不是Augment path）来选择扩流方案。

应用：二分图匹配（略）。

练习题6.4