CF1205C Palindromic Paths

题目链接

问题分析

首先可以想到，坐标和为奇数的位置可以被唯一确定。同样的，如果假定((1,2))是(0)，那么坐标和为偶数的位置也可以被唯一确定。这样总共使用了(n^2-3)次询问。

那么接下来就需要在(3)步之内判断是否要翻转坐标和为偶数的位置。

如果仅仅只是这样简单的判断：

printf( "? 1 1 2 3
" ); fflush( stdout );
	int x; scanf( "%d", &x );
	if( x == 1 && A[ 1 ][ 1 ] != A[ 2 ][ 3 ] ) 
		for( int i = 1; i <= n; ++i )
			for( int j = 1; j <= n; ++j ) 
				if( ( i + j ) % 2 )
					A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
	if( x == 0 && A[ 1 ][ 1 ] == A[ 2 ][ 3 ] && 
		( A[ 2 ][ 1 ] == A[ 2 ][ 2 ] || A[ 1 ][ 2 ] == A[ 2 ][ 2 ] || A[ 1 ][ 2 ] == A[ 1 ][ 3 ] ) )
		for( int i = 1; i <= n; ++i )
			for( int j = 1; j <= n; ++ j )
				if( ( i + j ) % 2 )
					A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;

那么就愉快的Wrong Answer on test 5。

观察这样一组数据：

110
101
110

会发现，不论是否翻转，所得的结果都是(0)。

观察发现，翻转会改变这样一条长度为(4)的路径上的两个位置。而这样路径上值的异或和是不变的。而长度为(4)的(01)串异或和为(0)是回文的必要条件。如果异或和不为(0)，就会出现所给反例中的情况。

那么异或和为(0)的长度为(4)的路径是否一定存在？考虑反证法。

假设不存在这样一条路径。考虑从左上到右下的任意一条路径。这条路径的长度为(2n-1)。不妨设这条路径所组成的序列是({a_i})。那么(a_1 oplus a_2 oplus a_3 oplus a_4=1)，(a_2oplus a_3oplus a_4oplus a_5=1)。那么(a_1=a_5)。同样的(a_i=a_{i-4})。由于(n)是奇数，所以(a_{2n-1}=a_1)。 而题目中要求(a_1=1,a_{2n-1}=0)，所以一定存在这样一条路径。

那么就得到了可行的做法。

参考程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 60;
int n, A[ Maxn ][ Maxn ], x;

int Check( int x1, int y1, int x2, int y2 ) {
	if( x1 == x2 ) return 1 ^ A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 2 ] ^ A[ x1 ][ y2 ];
	if( x1 + 1 == x2 ) {
		int t = A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y2 ];
		return ( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) || 
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 2 ] ) );
	}
	if( x1 + 2 == x2 ) {
		int t = A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y2 ];
		return ( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 2 ][ y1 ] ) ) || 
			( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) );
	}
	if( x1 + 3 == x2 ) return 1 ^ A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 2 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y1 ];
	return 0;
}

void Swap() {
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		for( int j = 1; j <= n; ++j ) 
			if( ( i + j ) % 2 )
				A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
	return;
}

void Trans() {
	for( int i = 1; i <= n; ++i ) 
		for( int j = 1; j <= n; ++j )
			for( int k = 0; k < 4; ++k )
				if( i + k <= n && j + 3 - k <= n && Check( i, j, i + k, j + 3 - k ) ) {
					printf( "? %d %d %d %d
", i, j, i + k, j + 3 - k ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
					if( x == 1 && A[ i ][ j ] != A[ i + k ][ j + 3 - k ] ) Swap();
					if( x == 0 && A[ i ][ j ] == A[ i + k ][ j + 3 - k ] ) Swap();
					return;
				}
	return;
}

int main() {
	memset( A, 0, sizeof( A ) );
	A[ 1 ][ 1 ] = 1;
	scanf( "%d", &n );
	for( int i = 1; i <= n; ++i ) 
		for( int j = 1; j <= n; ++j ) {
			if( i == 2 && j == 1 ) {
				printf( "? 2 1 2 3
" ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ 2 ][ 1 ] = ( A[ 2 ][ 3 ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ 2 ][ 1 ] = ( A[ 2 ][ 3 ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( i == 1 && j + 2 <= n ) {
				printf( "? %d %d %d %d
", i, j, i, j + 2 ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i ][ j + 2 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i ][ j + 2 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( j == 1 && i + 2 <= n ) {
				printf( "? %d %d %d %d
", i, j, i + 2, j ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i + 2 ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i + 2 ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( i + 1 <= n && j + 1 <= n && i + j + 2 < n + n ) {
				printf( "? %d %d %d %d
", i, j, i + 1, j + 1 ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i + 1 ][ j + 1 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i + 1 ][ j + 1 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
		}
	Trans();
	printf( "!
" ); fflush( stdout );
	for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
		for( int j = 1; j <= n; ++j ) 
			printf( "%d", A[ i ][ j ] ), fflush( stdout );
		printf( "
" ); fflush( stdout );
	}
	return 0;
}