【数论】拉格朗日插值

(n) 次多项式定义为 ：(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + cdots + a_0)。

给出 (n + 1) 个点 ((x_i, y_i))，表示 (f(x_i)=y_i)，要求求出 (f(t))。

做法 1：

高斯消元。

我们把这 (n + 1) 个点都写出来：

[left{ egin{aligned} a_nx_1^n + a_{n-1}x_1^{n-1} + a_{n-2}x_1^{n-2}+cdots+a_0 = y_1 ~~~~ \ a_nx_2^n + a_{n-1}x_2^{n-1} + a_{n-2}x_2^{n-2}+cdots+a_0 = y_2 ~~~~ \ cdots ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ a_nx_{n+1}^n + a_{n-1}x_{n+1}^{n-1} + a_{n-2}x_{n+1}^{n-2}+cdots+a_0 = y_{n+1} \ end{aligned} ight. ]

我们把 (a_n, a_{n-1}, cdots, a_0) 看作未知量，把 (x,y) 看作已知量，这样就可以高斯消元进行求解，解出 (a_n,a_{n-1},cdots,a_0)。

时间复杂度：(O(n^3))。

做法 2：

拉格朗日插值。

我们从二次多次项入手，我们给出 (3) 个点，((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3,y_3))。

可以列出方程组：

[left{ egin{aligned} a_2x_1^2 + a_1x_1^1+a_0 = y_1 \ a_2x_2^2 + a_1x_2^1+a_0 = y_2 \ a_2x_3^2 + a_1x_3^1+a_0 = y_3 \ end{aligned} ight. ]

可以使用高斯消元来做，这里我们换一种思路，我们构造三个二次函数，然后相加得到我们要的函数。

构造函数

[f_1(x)=left{ egin{aligned} 1 && (x=x_1) \ 0 && (x ot=x_1) \ end{aligned} ight. , f_2(x)=left{ egin{aligned} 1 && (x=x_2) \ 0 && (x ot=x_2) \ end{aligned} ight. ,f_3(x)=left{ egin{aligned} 1 && (x=x_3) \ 0 && (x ot=x_3) \ end{aligned} ight. ]

那么当 (f(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x))，此时就满足 (x) 的取值为 (x_1,x_2,x_3) 时，(f(x)) 的取值就为 (y_1,y_2,y_3)。

现在考虑 (n) 次多项式，给出 (n + 1) 个点：((x_1, y_1), (x_2, y_2),cdots,(x_{n + 1}, y_{n + 1}))。

我们考虑构造 (f_1 sim f_{n+1})。

设 (f_i(k)=prodlimits_{j=1,j ot=i}^{n+1}dfrac{k-x_j}{x_i-x_j})，(f_i(k)) 满足在 (k=x_i) 时函数值为 (1)，在 (k=x_j(j ot= i)) 时函数值为 (0)。

那么多项式 (f(k)=sumlimits_{i=1}^{n+1}y_if_i(k)=sumlimits_{i=1}^{n+1}y_iprodlimits_{j=0,j ot=i}^ndfrac{k-x_j}{x_i-x_j}) 就满足当 (k) 为 (x_1, x_2, cdots, x_{n+1}) 时 (f(k)) 的取值就为 (y_1, y_2, cdots, y_{n + 1})。

如果我们只要求解特定函数值，我们可以使用逆元来代替除法。

时间复杂度：(O(n^2))。

当 (x_a) 与 (a) 有关系时，例如 (x_a=a) 时，可以使用前缀乘来优化，时间复杂度：(O(n))。