一、积性函数
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积性函数：对于任意互质的整数 (a) 和 (b (gcd(a,b)=1)) 有性质 (f(ab)=f(a) imes f(b))。
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完全积性函数：对于任意的整数 (a) 和 (b) 有性质 (f(ab) = f(a) imes f(b))。
我们现在证明一下欧拉函数是积性函数。
定理：当 (gcd(x, y)=1) 时，(varphi(x imes y)=varphi(x) imes varphi(y))。
证明：
我们将 (1 sim x imes y) 排列成如下方阵：
[egin{matrix} 1 & 2 &cdots & i & cdots & y \ 1 + y & 2 + y & cdots & i + y & cdots & 2 imes y \ 1 + 2 imes y & 2 + 2 imes y & cdots & i + 2 imes y & cdots & 3 imes y \ vdots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots \ 1 + j imes y & 2 + j imes y & cdots & i+j imes y & cdots & (j + 1) imes y \ vdots & vdots & ddots & vdots & ddots & vdots \ 1 + (x-1) imes y & 2 + (x-1) imes y & cdots & i + (x-1) imes y & cdots & x imes y \ end{matrix} ]由于 (gcd(x, y)=1)，每一列 (i + j imes y) 都能构成一个 (mod m) 的完全剩余系 ({overline0, overline1, cdots, overline{m-2}， overline{m-1}})，则每一列与 (m) 互质的数就有 (varphi(m))。
同理，对于每一行，都能构成一个 (mod n) 的完全剩余系({overline0, overline1, cdots, overline{n-2}， overline{n-1}})，并且它们都是对齐的，则每一行与 (n) 互质的数就有 (varphi(n))。
若 (a) 与 (x imes y) 互质，则 (a) 与 (x) 互质且 (a) 与 (y) 互质，即 (varphi(x imes y)=varphi(x) imes(y))。
二、欧拉函数
1. 欧拉函数的定义及求法
(varphi(x)) 表示有多少个 (i (1 leq i leq x)) 满足 (gcd(i, x) = 1)（即有多少个 (leq x) 的 (i) 与 (x) 互质）。
显然当 (x) 为质数时，(varphi(x) = x - 1)。
把 (x) 唯一分解 (x=prodlimits_{i=1}^{m}p_i^{c_i})，(varphi(x)=prodlimits_{i=1}^{m}dfrac{p_i-1}{p_i})。
我们来证明一下这个定理：
引理 (1)：设 $x=p^k (p $ 为质数())，那么 (varphi(x)=p^{k-1} imes(p-1))。
证明 (1)：此时对于一个 (y) 与 (x) 互质，当且仅当 ((y otequiv 0 mod p))，我们考虑将 (x) 分成许多段，长度为 (p)，有 (dfrac{x}{p}=dfrac{p^k}{p}=p^{k-1}) 段。其中每一段都有 (p-1) 个数与 (p) 互质，有 (p^{k-1}) 段，故 (varphi(x)=p^{k-1} imes(p-1))。
根据欧拉函数的积性性质，我们可以得到：(varphi(x)=prodlimits_{i=1}^{m}varphi(p_i^{c_i})=prodlimits_{i=1}^mp^{c_i-1} imes(p_i-1)=prodlimits_{i=1}^mdfrac{p^{c_i}}{p} imes(p_i-1)=prodlimits_{i=1}^mp^{c_i} imesdfrac{p_i-1}{p_i}=x imesprodlimits_{i=1}^mdfrac{p_i-1}{p_i})。
故我们可以使用试除法在 (O(sqrt{x})) 的时间内求出 (varphi(x))。
2. 欧拉函数的一些性质
(forall n > 1)，(1 sim n) 之间与 (n) 互质的数的和为 (dfrac{n imes varphi(n)}{2})。
证明：因为 (gcd(n, x)=gcd(n, n-x))，故与 (n) 不互质的数是成对出现的，且平均值为 (dfrac{n}{2})。因此，与 (n) 互质的数的平均值也是 (dfrac{n}{2})，又有 (varphi(n)) 个，故(forall n > 1)，(1 sim n) 之间与 (n) 互质的数的和为 (dfrac{n imes varphi(n)}{2})。
当 (x) 为奇数时，(varphi(2 imes x)=varphi(x))。
证明：把 (x) 唯一分解 (x=prodlimits_{i=1}^mp_i^{c_i}()其中 (p_i ot=2))，(2 imes x=2 imesprodlimits_{i=1}^mp_i^{c_i})，根据上面的欧拉函数的求法可得：
(varphi(2 imes x)=2 imes x imes dfrac{2-1}{2} imes prodlimits_{i=1}^mdfrac{p_i - 1}{p_i}=x imes prodlimits_{i=1}^mdfrac{p_i-1}{p_i})，(varphi(x)=x imes prodlimits_{i=1}^mdfrac{p_i-1}{p_i})。
所以当 (x) 为奇数时，(varphi(2 imes x)=varphi(x))。
若 (x > 2) ，那么 (varphi(x)) 是偶数。
证明：我们考虑把 (x) 唯一分解，(x=prodlimits_{i=1}^{m}p_{i}^{c_i})，显然，除开 (2) 这个质数以外，其他质数都是奇数，减去 (1) 之后就都是偶数了，故不包含 (2) 这个质因子的数的欧拉函数一定是偶数，而 (2-1=1)，对结果没有影响，并且如果这个数有 (2) 这个质因子，那么它一定是偶数，所以若 (x > 2) ，那么 (varphi(x)) 是偶数。
设 (p) 为质数，若 (p | n) 且 (p^2 | n) 则 (varphi(n)=varphi(dfrac{n}{p}) imes p)。
证明：由于 (p^2 | n) 所以 (dfrac{n}{p}) 也有 (p) 这个因子，故 (varphi(n)) 和 (varphi(dfrac{n}{p})) 的区别只有 (n) 和 (dfrac{n}{p}) 这个乘积的差别，故可得 (varphi(n)=varphi(dfrac{n}{p}) imes p)。
设 (p) 为质数，若 (p | n) 且 (p^2 mid n) 则 (varphi(n)=varphi(dfrac{n}{p}) imes(p-1))。
证明：由于 (p^2 mid n) 所以 (dfrac{n}{p}) 与 (p) 互质，故 (varphi(n)) 和 (varphi(dfrac{n}{p})) 的比，多了 (dfrac{p-1}{p}) 和 (p) 这两个乘积，故可得：(varphi(n)=varphi(dfrac{n}{p}) imes (p-1))。
(x=sumlimits_{d|x}varphi(d))
证明：设 (f(n)=sumlimits_{d|n}varphi(d))， 根据乘法分配律以及 (varphi) 的积性性质，我们可以得到：若 (n, m) 互质，则 (f(nm) = sumlimits_{d | nm} varphi(d)=(sumlimits_{d|n}varphi(d)) imes (sumlimits_{d|m}varphi(d))=f(n) imes(m))，故 (f(n)) 是积性函数。对于单个质因子 (f(p_i^{c_i})=sumlimits_{d|p_i^{c_i}}varphi(d)=varphi(1)+varphi(p)+cdots+varphi(p_i^{c_i})) ，我们发现这是一个等比数列求和再加 (1)，结果为 (p^{c_i})。所以 (f(n)=prodlimits_{i=1}^mf(p_i^{c_i})=prodlimits_{i=1}^mp_i^{c_i}=n)。