【数论】中国剩余定理（CRT）

我们需要解决满足

(egin{cases}x equiv a_1 (mod b_1) \ x equiv a_2 (mod b_2) \ ~~~~~~~~~~~cdots \ x equiv a_n (mod b_n)end{cases})

的一个解 (x)，并且保证所有的 (b) 都互相互质。

我们考虑设 (M=prodlimits_{i=1}^{n} b_i)，(m_i=dfrac{M}{b_i})，(t_i) 为 (m_ixequiv 1 (mod b_i)) 的一个解，最后的 (x=sumlimits_{i=1}^{n}a_im_it_i)。

我们现在来证明一下 (x) 是一个满足条件的解。

证明：

对于任意的 (k in [1, n])，(a_km_kt_k equiv a_k (mod b_k))，

而 (a_km_kt_k equiv 0 (mod b_i) (i in [1, n], i ot= k))，故，(x) 是一个满足条件的解。

我们知道，(M equiv 0 (mod b_i) (i in [1, n]))，故 (x + kM (k in )) 都是满足答案的解，若题目要求最小正整数解，(x = (x mod M + M) mod M)。

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拓展中国剩余定理 （EXCRT）

我们要解决的还是

(egin{cases}x equiv a_1 (mod b_1) \ x equiv a_2 (mod b_2) \ ~~~~~~~~~~~cdots \ x equiv a_n (mod b_n)end{cases})

这么一个问题，其中不保证所有的 (b) 都互相互质。

我们假设已经有一个解 (x) 满足前 (k - 1) 个同余方程，此时我们设 (d=operatorname{lcm}{b_1, b_2, cdots, b_{k-1}})，显然，(x + jd (j in )) 都是满足条件的解。

那么对于第 (k) 个同余方程，即要满足 (x+jdequiv a_k (mod b_k))，可转换为 (jd equiv a_k - x (mod b_{k}))，显然，可以用扩展欧几里得来求解 (j)，若 (gcd(d, b_k) mid a_k-x) 那么就无解，否则 (x = x+jd, d=operatorname{lcm}{b_1, b_2, cdots, b_k})，此时的 (x) 是满足前 (k) 个方程的，这样一直做到最后就可以求出答案。

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