Prime 算法的简述

前面在介绍并查集时顺便提了Kruskal算法，既然已经说到了最小生成树问题，就没有道理不把Prime算法说了。

这里面先补充下Kruskal算法的大概意思，Kruskal算法通过把所有的边从小到大排列后，不断取权值最小的边加入最小生成树（起初可能是离散的多个树，最终连成一个整体），并通过并查集来舍弃形成回路的边。

Prime算法有所不同，Prime算法先将一个起点加入最小生成树，之后不断寻找与最小生成树相连的边权最小的边能通向的点，并将其加入最小生成树，是一种更符合人的主观直觉的最小生成树算法。

需要注意的是，Kruskal和Prime都仅适用于无向图。

#include <algorithm>
const int MAX_V = 100;
const int INF = 1000000;
int cost[MAX_V][MAX_V];//图
int V;
bool path[MAX_V][MAX_V];//记录结果
int res;
bool used[MAX_V];//表示是否访问过
int mincost[MAX_V];//表示到此点消耗值

void Prime()
{
    res = 0;//统计最小消耗
    for (int i = 0;i < V;++i)//初始化
    {
        used[i] = false;
        mincost[i] = INF;
        for (int j = 0;j < V;++j)
        {
            path[i][j] = false;
        }
    }
    mincost[0] = 0;//从0点开始
    int prev = 0;//记录路径
    while (true)
    {
        int visited = -1;
        for (int i = 0;i < V;++i)
        {
            if (!used[i] && (visited == -1 || mincost[i] < mincost[visited])) visited = i;//贪婪寻找最短边
        }
        if (visited == -1) break;
        used[visited] = true;
        if (visited)
        {
            path[prev][visited] = true;
            prev = visited;
        }
        res += mincost[visited];
        for (int i = 0;i < V;++i)
        {
            mincost[i] = std::min(mincost[i], cost[visited][i]);
        }
    }
}

下面给出一组Kruskal和Prime的测试数据及结果：

测试代码：

void mstTest()
{
    cin >> V;
    for (int i = 0;i < V;++i)
        for (int j = 0;j < V;++j)
        {
            cin >> cost[i][j];
        }            
    for (int i = 0;i < V;++i) d[i] = INF;
    cout << "Kruskal:" << endl;
    Kruskal();
    for (int i = 0;i < V;++i)
    {
        for (int j = 0;j < V;++j)
        {
            if (path[i][j]) cout << i << " " << j << endl;
        }
    }
    cout << res << endl;
    cout << endl;
    cout << "Prime" << endl;
    Prime();
    for (int i = 0;i < V;++i)
    {
        for (int j = 0;j < V;++j)
        {
            if (path[i][j]) cout << i << " " << j << endl;
        }
    }
    cout << res << endl;
}

测试结果：

9
1000000 1 5 7 4 1000000 1000000 1000000 1000000
1 1000000 1000000 1000000 1000000 3 10 1000000 1000000
5 1000000 1000000 1000000 1000000 2 1000000 2 1000000
7 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1 1000000 1000000
4 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 3 1000000
1000000 3 2 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 2
1000000 10 1000000 1 1000000 1000000 1000000 1000000 9
1000000 1000000 2 1000000 3 1000000 1000000 1000000 5
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 2 9 5 1000000
Kruskal:
0 1
0 3
1 5
2 5
2 7
3 6
4 7
5 8
21

Prime
0 1
1 5
2 7
3 6
4 3
5 2
7 8
8 4
21
请按任意键继续. . .

可以看到，两种算法生成了拥有相同最小消耗的两颗完全不同的最小生成树。