数据结构26：矩阵乘法（行逻辑链接的顺序表），矩阵转置矩阵加法

矩阵相乘的前提条件是：乘号前的矩阵的列数要和乘号后的矩阵的行数相等。且矩阵的乘法运算没有交换律，即 A*B 和 B*A 是不一样的。

例如，矩阵A：


矩阵B：


由于矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相等，可以进行 A*B 运算（不能进行 B*A 运算）。计算方法是：用矩阵A的第 i 行和矩阵B中的每一列 j 对应的数值做乘法运算，乘积一一相加，所得结果即为矩阵 C 中第 i 行第 j 列的值。

得到的乘积矩阵C为：

例如：C₁₂ = 6 是因为：A₁₁*B₁₂ + A₁₂*B₂₂ + A₁₃*B₃₂ + A₁₄*B₄₂，即 3*2 + 0*0 + 0*4 + 5*0 = 6 ，因为这是 A 的第 1 行和 B 的第 2 列的乘积和，所以结果放在 C 的第 1 行第 2 列的位置。

例如，A是 m1*n1 矩阵，B是 m2*n2 矩阵(前提必须是 n1 == m2 )：

int C[MAX][MAX];

for (int i=0; i<m1; i++) 
{
　　for (int j=0; j<n2; j++) 
　　{
　　　　C[i][j]=0;
　　　　for (int k=0; k<n1; k++) 
　　　　{
　　　　　　C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
　　　　}
　　}
}

普通算法的时间复杂度为O(m1*n2*n1)。

在稀疏矩阵做乘法运算时，由于本身矩阵中含有的非 0 元素少，普通算法会出现很多 0*0 或者 k*0 或者 0*k （ k 代表非 0 元素值）的情况。下面介绍使用行逻辑链接的顺序表计算矩阵乘积的方法。

行逻辑链接的顺序表解决矩阵乘积算法

对矩阵的乘积进行深度剖析，矩阵 A 和矩阵 B 相乘的运算过程是这样的：

1. 首先，找到矩阵 A 中第一行的非 0 元素，分别是 A₁₁ = 3和 A₁₄ = 5；（由于行逻辑链接的顺序表中存储的都是非 0 元素，查找的过程就需要使用记录每行第一个非 0 元素的首地址的数组来完成）
2. 用 3 去和 B 中对应的第一行中的非 0 元素相乘，矩阵 B 中第一行非 0 元素是 B₁₂ = 2，所以 3*2 = 6 ，因为 6 是 A₁₁ 和 B₁₂ 相乘的结果，所以暂时存放在 C₁₂ 中；用 5 去和 B 中对应的第 4 行的非 0 元素相乘，由于矩阵 B 中第 4 行没有非 0 元素，所以，第一行的计算结束；
3. 以此类推。

攻克问题难点

现在，解决问题的关键在于，如何知道顺序表中存放的非0元素是哪一行的呢？

解决方案：由于使用的是行逻辑链接的顺序表，所以，已经知道了每一个矩阵中的每一行有多少个非0元素，而且第一行的第一个非0元素的位置一定是1。

所以，第 n 行的非0元素的位置范围是：大于或等于第 n 行第一个元素的位置， 小于第 n+1 行第一个元素的位置（如果是矩阵的最后一行， 小于矩阵中非 0 元素的个数 + 1）。

具体实现代码

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 12500
#define MAXRC 100
#define ElemType int

typedef struct
{
　　int i,j;　　　　//行，列
　　ElemType e;　　//元素值
}Triple;

typedef struct
{
　　Triple data[MAXSIZE+1];
　　int rpos[MAXRC+1];　　//每行第一个非零元素在data数组中的位置
　　int mu, nu, tu;　　　　//行数，列数，元素个数
}RLSMatrix;

RLSMatrix MultSMatrix(RLSMatrix A, RLSMatrix B, RLSMatrix C)
{
　　//如果矩阵A的列数与矩阵B的行数不等，则不能做矩阵乘运算
　　if(A.nu != B.mu)
　　return C;
　　C.mu = A.mu;
　　C.nu = B.nu;
　　C.tu = 0;
　　//如果其中任意矩阵的元素个数为零，做乘法元素没有意义，全是0
　　if(A.tu * B.tu == 0)
　　　　return C;
　　else
　　{
　　　　int arow;
　　　　int ccol;
　　　　//遍历矩阵A的每一行
　　　　for(arow=1; arow<=A.mu; arow++)
　　　　{
　　　　　　//创建一个临时存储乘积结果的数组，且初始化为0，遍历每次都需要清空
　　　　　　int ctemp[MAXRC+1] = {};
　　　　　　C.rpos[arow] = C.tu + 1;
　　　　　　//根据行数，在三元组表中找到该行所有的非0元素的位置
　　　　　　int tp;
　　　　　　if(arow < A.mu)
　　　　　　　　tp = A.rpos[arow+1];//获取矩阵A的下一行第一个非零元素在data数组中位置
　　　　　　else
　　　　　　　　tp = A.tu+1;//若当前行是最后一行，则取最后一个元素+1
　　　　　　int p;
　　　　　　int brow;
　　　　　　//遍历当前行的所有的非0元素
　　　　　　for(p=A.rpos[arow]; p<tp; p++)
　　　　　　{
　　　　　　　　brow = A.data[p].j;　　//取该非0元素的列数，便于去B中找对应的做乘积的非0元素
　　　　　　　　int t;
　　　　　　　　// 判断如果对于A中非0元素，找到矩阵B中做乘法的那一行中的所有的非0元素
　　　　　　　　if(brow < B.mu)
　　　　　　　　　　t = B.rpos[brow+1];
　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　t = B.tu+1;
　　　　　　　　int q;
　　　　　　　　//遍历找到的对应的非0元素，开始做乘积运算
　　　　　　　　for(q=B.rpos[brow]; q<t; q++)
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　//得到的乘积结果，每次和ctemp数组中相应位置的数值做加和运算
　　　　　　　　　　ccol = B.data[q].j;
　　　　　　　　　　ctemp[ccol] += A.data[p].e * B.data[q].e;
　　　　　　　　}
　　　　　　}

　　　　　　//矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数，所以，得到的ctemp存储的结果，也会在C的列数的范围内
　　　　　　for(ccol=1; ccol<=C.nu; ccol++)
　　　　　　{
　　　　　　　　//由于结果可以是0，而0不需要存储，所以在这里需要判断
　　　　　　　　if(ctemp[ccol])
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　//不为0，则记录矩阵中非0元素的个数的变量tu要+1；且该值不能超过存放三元素数组的空间大小
　　　　　　　　　　if(++C.tu > MAXSIZE)
　　　　　　　　　　　　return C;
　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　C.data[C.tu].e = ctemp[ccol];
　　　　　　　　　　　　C.data[C.tu].i = arow;
　　　　　　　　　　　　C.data[C.tu].j = ccol;
　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　}
　　　　　　}
　　　　}

　　　　return C;
　　}
}

int main(int argc, char *argv[])
{
　　RLSMatrix M, N, T;
　　M.tu = 4;
　　M.mu = 3;
　　M.nu = 4;
　　M.rpos[1] = 1;
　　M.rpos[2] = 3;
　　M.rpos[3] = 4;
　　M.data[1].e = 3;
　　M.data[1].i = 1;
　　M.data[1].j = 1;
　　M.data[2].e = 5;
　　M.data[2].i = 1;
　　M.data[2].j = 4;
　　M.data[3].e = -1;
　　M.data[3].i = 2;
　　M.data[3].j = 2;
　　M.data[4].e = 2;
　　M.data[4].i = 3;
　　M.data[4].j = 1;
　　N.tu = 4;
　　N.mu = 4;
　　N.nu = 2;
　　N.rpos[1] = 1;
　　N.rpos[2] = 2;
　　N.rpos[3] = 3;
　　N.rpos[4] = 5;
　　N.data[1].e = 2;
　　N.data[1].i = 1;
　　N.data[1].j = 2;
　　N.data[2].e = 1;
　　N.data[2].i = 2;
　　N.data[2].j = 1;
　　N.data[3].e = -2;
　　N.data[3].i = 3;
　　N.data[3].j = 1;
　　N.data[4].e = 4;
　　N.data[4].i = 3;
　　N.data[4].j = 2;
　　T= MultSMatrix(M, N, T);
　　for (int i=1; i<=T.tu; i++) 
　　{
　　　　printf("(%d,%d,%d)
",T.data[i].i,T.data[i].j,T.data[i].e);
　　}

　　return 0;
}

输出结果：
(1,2,6)
(2,1,-1)
(3,2,4)

总结

当稀疏矩阵 A_mn 和稀疏矩阵 B_np 采用行逻辑链接的顺序表做乘法运算时，在矩阵 A 的列数（矩阵 B 的行数） n 不是很大的情况下，算法的时间复杂度相当于O(m*p)，比普通算法要快很多。