【CQOI2014】数三角形

题面

题解

考虑使用总数减去不合法的数量

首先将(n, m)都加上(1)，将网格变成坐标系

总数即为(largeinom{n imes m}{3})

不合法的有三种情况：

• 三个点在同一行上。每一行有(inom{m}{3})种不合法的情况，有(n)行，总数(ncdotinom m3)

• 三个点在同一列上。每一列有(inom n3)种不合法的情况，有(m)行，总数(mcdotinom n3)

• 三个点在同一条斜线上

  如果斜率为正，那么将一个点移动到原点，然后枚举另外一个点，这样的直线有

  ((n - i)(m - j))条

  然后斜率可能为负，( imes 2)即可

  于是总数就是(2sumlimits_{i=1}^{n-1}sumlimits_{j=1}^{m-1}(gcd(i,j)-1)(n-i)(m-j))

于是答案为

[inom{n imes m}3 - ninom m3 - minom n3 - 2sum_{i=1}^{n-1}sum_{j=1}^{m-1}(gcd(i,j) - 1)(n - i)(m - j) ]

代码

结论题的代码就是好打

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register

inline int read()
{
	int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
	if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return data * w;
}

inline long long C(int x) { return 1ll * x * (x - 1) * (x - 2) / 6; }
long long ans; int n, m;

int main()
{
	n = read() + 1, m = read() + 1;
	ans = C(n * m) - n * C(m) - m * C(n);
	for(RG int i = 1; i < n; i++)
		for(RG int j = 1; j < m; j++)
			ans -= 2ll * (std::__gcd(i, j) - 1) * (n - i) * (m - j);
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}