定义
[B_n = [n = 0] - frac 1{n + 1} sum_{i=0}^{n-1} inom {n + 1} i B_i
]
同时有
[hat{B}(x) = sum_{i geq 0} B_i frac {x^i} {i!} = frac x{e^x - 1}
]
所以可以使用多项式求逆求出伯努利数。
性质
设自然数幂和函数 (S_k(n) = sum_{i=0}^{n-1} i^k)，那么有：
[S_k(n) = frac 1{k + 1} sum_{i=0}^k inom{k + 1}i B_i n^{k - i + 1}
]
设 (hat{S}_n(x) = sum_{i geq 0} frac {x^i} {i!} S_i(n))，那么：
[egin{aligned}
hat{S}_n(x) &= sum_{i geq 0} frac {x^i} {i!} sum_{j=0}^{n-1} j^i\
&= sum_{j=0}^{n-1} sum_{i geq 0} frac {(jx)^i} {i!}\
&= sum_{j=0}^{n-1} e^{jx}\
&= frac {e^{nx} - 1}{e^x - 1}
end{aligned}
]
所以
[egin{aligned}
S_k(n) &= k! [x^k] frac{e^{nx} - 1}{e^x - 1}\
&= k! sum_{i=0}^k frac{B_i}{i!} [x^{k-i+1}] (e^{nx} - 1)\
&= frac 1{k + 1} sum_{i=0}^k inom{k+1}i B_i n^{k - i + 1}
end{aligned}
]
例子
洛谷P3711 仓鼠的数学题
求多项式 (f(x) = sum_{k=0}^n S_k(x + 1) a_k)。
首先考虑求出 (g(x) = f(x - 1)) 然后再基变换回去。
那么：
[egin{aligned}
g(x) &= sum_{k=0}^n frac {a_k} {k + 1} sum_{i=1}^{k + 1} inom{k + 1}i x^i B_{k - i + 1}\
&= sum_{k=0}^n a_k k! sum_{i = 1}^{k + 1} frac {x^i} {i!} frac {B_{k - i + 1}}{(k - i + 1)!}\
&= sum_{i=0}^n frac {x^{i + 1}}{(i + 1)!} sum_{k=i}^n a_k k! frac{B_{k - i}}{(k - i)!}
end{aligned}
]
显然的减法卷积形式，NTT 即可。