线性空间
线性基所在线性空间中元素均为非负整数且元素间运算为异或。
线性基
性质
线性基是特殊线性空间中的一组基底，具有以下特殊性质：
0：若(d_i > 0)，则(d_i)二进制下第(i+1)位为(1)且(i+1)位为最高位。
1：元素线性无关，即异或和非0
证明：线性相关时不再被插入。
2：其所在线性空间中的每个元素能唯一被此线性基表示，同时原序列每个元素可被表示。
证明：前者为线性无关，后者为异或路径上的元素及插入点构成成(A_i)
3：选取一些元素构成集合(S)，其异或和(x)代替(S)中任意元素后新(S)和其他线性基中的元素张成的空间不变。
证明：考虑(Tsubset S,T eq empty,igoplus_{i=1}^{vert Tvert}d_i=x)时，对于(forall i,d_iin T)有(igoplus_{j=1}^{i-1}d_jigoplus_{j=i+1}^{vert Tvert}oplus x=d_i)，易得其等价。
4：线性基中数的个数唯一，且最少。
证明：对于一个不能插入的原序列数(x，(Tsubset S,x=igoplus_{_i=1}^{vert Tvert }d_i))和线性基(S)，交换满足(forall i,iin T)的(d_i)与(x)，性质在任意时刻仍然成立。
构造
假设已经拥有一个线性基，想要插入一个数(x)
从高位往低位考虑，如果(x)的第(j)位为(1)且(d_i>0)那么(x=xoplus d_i)，即消掉与(d_i)相同的位且对其他(i)位取反。
异或保证了线性无关，明显若中途为(0)，则线性相关，停止插入。
如果(d_i=0)且(x)的(i+1)位为(1)，则插入到(d_i)中
明显对于(j>i，d_j>0)的(d_j)的第(i+1)位亦可能为(1)，但一定有(j+1)位为(1)，因此插入后满足线性无关。
代码
void insert(LL x) {
for (LL i = 55; i >= 0; i--) {
if ((x >> i) & 1LL) {
if (!d[i]) {
d[i] = x;
break;
} else x ^= d[i];
} else if (!x) return;
}
}
应用
1：最大最小异或和。
sol：(d_i)的最高位为(i+1)位，直接贪心即可
2：(k)小异或和。
sol：考虑构造新线性基，保证对于(forall i, d_i>0)时，仅(d_i)的(i+1)位为(1)。
正确性：对于(forall i, d_i>0)的 (d_i),若第(forall j, jin[i-1,0])位(>0)且(d_{j-1}=0)，那么仅可能存在
(forall k,kin[i-1,j+1])的(d_k(d_k>0))使得(d_k)的第(j)为(1)，能够消去(d_i)的第(j)位，但此时若(d_i)的(k+1)位为(0)
明显(d_i)将在异或后变大，即不符合变小的约定。
若(d_i)的(k+1)位为(1)，则符合约定，因此构造满足上述性质的线性基一定会使得独立时能异或出(k)小。
(k)小异或和构造方法
对于每一个(d_i)考虑其(1)至(i)位，若(d_i)的(j)位为(1)，将其异或上(d_{j-1})即可构造出目标线性基。
正确性：考虑前(i-1)位已经构造出来了，构造第(i)位的时候也一定合法
这启发我们对于一组数插入的顺序影响基底，但是不影响其张成的空间，这也对应着性质4
void kth() {
for (R int i = 1; i <= 60; i++)
for (R int j = i - 1; j >= 0; j--)
if ((d[i] >> j) & 1LL)
d[i] ^= d[j];
}
实数线性基
实数线性基，和普通线性基区别不大，注意判eps，和异或线性基相似的地方是每个向量有m维
实际上就是m位的异或线性基，异或改成加减就好。
const LD eps = 1e-8;
int vis[N], n, m;
LD px[N][N];
inline int ins(LD *res) {
for (R int i = m; i >= 1; i--)
if (fabs(res[i]) > eps) {
if (!vis[i]) {
vis[i] = 1;
for (R int j = i; j >= 1; j--)
px[i][j] = res[j];
return 1;
} else {
LD o = res[i] / px[i][i];
for (R int j = i; j >= 1; j--)
res[j] -= o * px[i][j];
}
}
}