[luogu2617]Dynamic Rankings

题面在这里

description

动态区间第(k)大

data range

[n,mle 10000,a_i,tle 1e^9 ]

solution

前置技能:主席树,静态区间第(k)大
注意到主席树的区间维护是通过前缀和来实现的,
修改时需要对所有前缀进行修改,一次复杂度是(O(nlogn)),显然会(TLE)

树套树(树状数组套线段树???)

于是我们想到把主席树的前缀和维护改成树状数组维护
这样树状数组的每一个节点都代表的是一些权值线段树的前缀和

修改

对于树状数组上要修改的每一棵权值线段树进行修改(需要线段树动态开点),
每次加(lowbit)后直接在对应的权值线段树上删原点+插新点即可
需要修改(O(logn))棵权值线段树,时间复杂度为(O(log^2n))

查询

这里我们通过树状数组知道了区间([l,r])的整棵权值线段树
在权值线段树上进行二分;
注意前缀([1,l])和前缀([1,r])在树套树上对应的权值线段树的数量可能不同,
于是我们需要在递归的同时保存这(O(logn))个节点的位置
需要查询(O(logn))棵权值线段树,时间复杂度为(O(log^2n))

那么这道题目我们就很开心地做完啦

code

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pub push_back
#define puf push_front
#define pob pop_back
#define pof pop_front
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=20010;
il ll read(){
	RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
	return data*w;
}

il void file(){
	freopen(".in","r",stdin);
	freopen(".out","w",stdout);
}

int n,m,len,a[N],o[N],cnt[2][N],rt[N],tot;char c;
struct query{int opt;int l,r,k;int p,t;}Q[N];
struct node{int v,ls,rs;}t[N*400];
#define mid ((l+r)>>1)

ll query(int l,int r,int k){
	if(l==r)return l;RG int sum=0;
	for(RG int i=1;i<=cnt[0][0];i++){
		sum-=t[t[cnt[0][i]].ls].v;
	}
	for(RG int i=1;i<=cnt[1][0];i++){
		sum+=t[t[cnt[1][i]].ls].v;
	}
	if(k<=sum){
		for(RG int i=1;i<=cnt[0][0];i++)
			cnt[0][i]=t[cnt[0][i]].ls;
		for(RG int i=1;i<=cnt[1][0];i++)
			cnt[1][i]=t[cnt[1][i]].ls;
		return query(l,mid,k);
	}
	else{
		for(RG int i=1;i<=cnt[0][0];i++)
			cnt[0][i]=t[cnt[0][i]].rs;
		for(RG int i=1;i<=cnt[1][0];i++)
			cnt[1][i]=t[cnt[1][i]].rs;
		return query(mid+1,r,k-sum);
	}
}
il void query_tree(int l,int r,int k){
	cnt[0][0]=cnt[1][0]=0;
	for(RG int i=l-1;i;i-=lowbit(i))
		cnt[0][++cnt[0][0]]=rt[i];
	for(RG int i=r;i;i-=lowbit(i))
		cnt[1][++cnt[1][0]]=rt[i];
	printf("%d
",o[query(1,len,k)]);
}

void modify(int &now,int l,int r,int p,int val){
	if(!now)now=++tot;t[now].v+=val;if(l==r)return;
	if(p<=mid)modify(t[now].ls,l,mid,p,val);
	else modify(t[now].rs,mid+1,r,p,val);
}
il void modify_tree(int p,int val){
	RG int x=lower_bound(o+1,o+len+1,a[p])-o;
	for(RG int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)){
		modify(rt[i],1,len,x,val);
	}
}

int main()
{
	len=n=read();m=read();
	for(RG int i=1;i<=n;i++)o[i]=a[i]=read();
	for(RG int i=1;i<=m;i++){
		c=0;while(c!='Q'&&c!='C')c=getchar();
		Q[i].opt=(c=='Q');
		if(c=='Q'){
			Q[i].l=read();Q[i].r=read();Q[i].k=read();
		}
		else {Q[i].p=read();Q[i].t=read();o[++len]=Q[i].t;}
	}
	sort(o+1,o+len+1);len=unique(o+1,o+len+1)-o-1;

	for(RG int i=1;i<=n;i++)modify_tree(i,1);
	for(RG int i=1;i<=m;i++)
		if(!Q[i].opt){
			modify_tree(Q[i].p,-1);
			a[Q[i].p]=Q[i].t;
			modify_tree(Q[i].p,1);
		}
		else{query_tree(Q[i].l,Q[i].r,Q[i].k);}
	return 0;
}