[六省联考2017]相逢是问候

description

洛谷

solution

首先你要知道扩展欧拉定理。

扩展欧拉定理

[a^cequiv egin{cases} a^{c\%phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\ a^c~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p) eq1,b<phi(p)\ a^{c\%phi(p)+phi(p)}~~~~gcd(a,p) eq1,cgeqphi(p) end{cases}~~~~~~~(mod~p) ]

可能不太靠谱的证明:
考虑(a)为质数的情况。
设(p=p'a^r),则(gcd(a,p')=1);由欧拉定理，(a^{phi(p')}equiv 1(mod p'));
而易知(phi(p')|phi(p)),因此(a^{phi(p)}equiv 1(mod p'));
那么(a^{phi(p)}=k imes p'+1)
两边同乘(a^r),得(a^{phi(p)+r}=k imes p+a^r)
因此(a^{phi(p)+r}equiv a^r(mod p))
又(rle phi(p),)所以对于任意(cgephi(p)ge r),(a^{phi(p)+c}equiv a^c(mod p))。
对于质数的幂:
((a^k)^cequiv a^{kc}equiv a^{k(phi(p)+c)}equiv (a^k)^{phi(p)+c}(mod p),cge phi(p))
对于所有的(a)，分解质因数即可。

而我们知道一个数取至少(log+1)次(phi)后会变成(1).
因此我们暴力修改，直到后面的(phi)变成(1)后剪枝即可。
需要注意的是在(phi)变成(1)后一定要再多取一次。

这样的复杂度...
我们考察一个数,算上快速幂的(log)，它被修改一次的复杂度是(log^2)的，要修改(log)次，
所以每个数应该是(log^3)?不是很会证复杂度
然后常数大一点就会像我一样(T)

于是我们把快速幂分块预处理一波，复杂度就变成了(log^2)。
还是挺神仙的

Code

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define Cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define Set(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define FILE "4869"
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const int N=50010;
const int M=1000010;
const dd eps=1e-5;
const int inf=2147483647;
const ll INF=1ll<<60;
const ll P=100000;
il ll read(){
  RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
  while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
  if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
  while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
  return data*w;
}

il void file(){
  srand(time(NULL)+rand());
  freopen(FILE".in","r",stdin);
  freopen(FILE".out","w",stdout);
}

int n,m,p,c,cal[N],top,a[N];
il int getphi(int x){
  RG int phi=x;
  for(RG int i=2;1ll*i*i<=x;i++)
    if(x%i==0){phi=phi/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}
  if(x!=1)phi=phi/x*(x-1);return phi;
}
il int poww(int a,int b,int mod){
  RG int ret=1;bool pda=0,pdret=0;
  while(b){
    if(b&1){
      if(pda||1ll*ret*a>=mod)pdret=1;
      ret=1ll*ret*a%mod;
    }
    b>>=1;
    if(1ll*a*a>=mod)pda=1;
    a=1ll*a*a%mod;
  }
  return ret+pdret*mod;
}

int listc[10005][52],listt[10005][52];

int sum[N<<2],cover[N<<2];
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
il void update(int i){
  sum[i]=(sum[ls]+sum[rs])%p;
  cover[i]=min(cover[ls],cover[rs]);
}
il void build(int i,int l,int r){
  if(l==r){a[l]=sum[i]=read();cover[i]=0;return;}
  build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);update(i);
}
int query(int i,int l,int r,int x,int y){
  if(x<=l&&r<=y)return sum[i];RG int s=0;
  if(x<=mid)s=(s+query(ls,l,mid,x,y))%p;
  if(mid<y)s=(s+query(rs,mid+1,r,x,y))%p;
  return s;
}
void modify(int i,int l,int r,int x,int y){
  if(cover[i]==top-1)return;
  if(l==r){
    cover[i]++;
    sum[i]=a[l]%cal[cover[i]+1]+(a[l]>=cal[cover[i]+1])*cal[cover[i]+1];
    for(RG int t=cover[i];t;t--){
      if(listc[sum[i]%10000][t]>=cal[t]||listt[sum[i]/10000][t]>=cal[t])
	sum[i]=1ll*listc[sum[i]%10000][t]*listt[sum[i]/10000][t]%cal[t]+cal[t];
      else sum[i]=1ll*listc[sum[i]%10000][t]*listt[sum[i]/10000][t]%cal[t];
    }
    sum[i]%=p;
    return;
  }
  if(x<=mid)modify(ls,l,mid,x,y);
  if(mid<y)modify(rs,mid+1,r,x,y);
  update(i);
}

int main()
{
  n=read();m=read();p=read();c=read();
  cal[++top]=p;
  while(cal[top]!=1){
    RG int x=getphi(cal[top]);
    cal[++top]=x;
  }
  cal[++top]=1;

  for(RG int i=1,ret;i<=top;i++){
    for(RG int j=0;j<10000;j++)
      listc[j][i]=poww(c,j,cal[i]);
    ret=poww(c,10000,cal[i]);
    for(RG int j=0;j<10000;j++)
      listt[j][i]=poww(ret,j,cal[i]);
  }
  
  build(1,1,n);
  for(RG int i=1,opt,l,r;i<=m;i++){
    opt=read();l=read();r=read();
    if(!opt)modify(1,1,n,l,r);
    else printf("%d
",query(1,1,n,l,r));
  }
  return 0;
}