UOJ #269. 【清华集训2016】如何优雅地求和

话说这题今年ZJOI讲课的时候lyx好像讲过，但是以当时姿势水平的我显然是看不懂的，所以现在来回头补一下

我们先来考虑一个简单的情况，(f(k)=k)时，我们可以得到：

(Q=sum_{k=0}^n k imes C_n^k imes x^k imes (1-x)^{n-k})

很显然为了化简后面的式子我们要凑出二项式定理的形式，同时这种推导在这里的P5591里已经推导过一遍了，就是用组合数吸收掉(k)，因此最后就是(Q=nx)

但我们发现这个形式不够一般，但却能给我们一定的启发：前面的系数除了是(k)还能不能是别的可以通过组合数来吸收呢？

根据《具体数学》上的一些套路，我们发现下降阶乘幂有这个很好的性质，比如：我们令(f(k)=k^{underline d})时，则有：

[Q=sum_{k=0}^n k^{underline d} imes C_n^k imes x^k imes (1-x)^{n-k} ]

[=sum_{k=0}^n k^{underline d} imes frac{n!}{k!(n-k)!} imes x^k imes (1-x)^{n-k} ]

[=sum_{k=0}^n n^{underline d}x^d imes frac{(n-d)!}{(k-d)!(n-k)!} imes x^{k-d} imes (1-x)^{n-k} ]

[=n^{underline d}x^d imessum_{k=0}^n C_{n-d}^{k-d} imes x^{k-d} imes (1-x)^{n-k} ]

所以后面还是一样的等于(1)，因此这是(Q=n^{underline d} x^d)

考虑最后答案的式子，我们显然发现对于(f(k)=sum_{i=0}^m a_i x^{underline i})，那么显然有(Q(f,n,x)=sum_{i=0}^m a_i imes Q(k^{underline i},n,x))

根据前面的推导我们现在已经会做(Q)了，但是那个(a_i)该怎么求呢？

我们考虑设(b_i=frac{a_i}{i!})，那么(f(k)=sum_{i=0}^m b_i imes C_x^i)

考虑下降阶乘幂最好的朋友是谁，在《具体数学》中也有提到它就是差分（因为用来求不定和式的时候下降阶乘幂用处很大，而结合差分之后在离散数学中可以发挥和微积分类似的作用）

我们考虑我们现在知道的是(k=0,1,cdots,m)时(f(k))的值，首先有(k=0)时(f(0)=b_0)

然后我们记(Delta f(k)=f(k+1)-f(k))，即它的一阶差分，因为组合数的基本性质(C_{k+1}^i-C_k^i=C_k^{i-1})，我们发现此时(Delta f(k)=sum_{i=0}^m b_i imes C_k^{i-1})，那么显然此时有(Delta f(0)=b_1)

同理，我们容易推导出(Delta^d f(0)=b_d)，即(d)阶差分后(0)处的值为(b_d)

那么我们现在可以直接写出一个(O(m^2))的暴力，再往后应该可以用NTT优化，但是由于这里数据范围不大，出题人写的也是(O(m^2))，因此我就懒了一下用暴力过了

#include<cstdio>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=20005,mod=998244353;
int n,m,x,b[N],ans,ret=1,inv=1;
inline void inc(int& x,CI y)
{
	if ((x+=y)>=mod) x-=mod;
}
inline int sub(CI x,CI y)
{
	int t=x-y; return t<0?t+mod:t;
}
inline int quick_pow(int x,int p=mod-2,int mul=1)
{
	for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod) if (p&1) mul=1LL*mul*x%mod; return mul;
}
int main()
{
	RI i,j; for (scanf("%d%d%d",&n,&m,&x),i=0;i<=m;++i)
	scanf("%d",&b[i]); for (i=0;i<=m;++i)
	{
		if (i) inv=1LL*inv*quick_pow(i)%mod;
		inc(ans,1LL*ret*b[0]%mod*inv%mod);
		for (j=0;j<m-i;++j) b[j]=sub(b[j+1],b[j]);
		ret=1LL*ret*x%mod*(n-i)%mod;
	}
	return printf("%d",ans),0;
}