关于树链剖分的一些算法

参考和学习自：dalao's blog

树链剖分，一个神奇的算法，用来解决树上的求和，找最值，修改以及许多玄学操作的算法

其实，上面讲的求和，找最值和修改都是像线段树一样对于序列上的操作。当然如果你用主席树，Splay等高级数据结构该可以做更多的事情

而树剖就是这样，它能使得那些维护序列的操作和数据结构可以被用在树上

其实也是一个预处理一样的东西了

首先先明确一些概念：（不懂也没事）

• 重结点：子树结点数目最多的结点；

• 轻节点：父亲节点中除了重结点以外的结点；

• 重边：父亲结点和重结点连成的边；

• 轻边：父亲节点和轻节点连成的边；

• 重链：由多条重边连接而成的路径；

• 轻链：由多条轻边连接而成的路径；

然后我们就可以通过一种方法把树上的节点重新编号，使得可以向维护序列一样的维护它们

我们确定一种标号方式，优先对重链上的点进行编号，然后再轻链

这样，我们发现：一棵子树中，所有的点都被连续编号了，且重链上的点的标号较小

因此我们在查询时若两个点在同一条重链上就可以直接查询（编号是连续的）

如果不是的话就把一个点（深度较深）先移到当前这条重链的顶端，然后向上通过一条轻边即可

具体看代码吧，毕竟有些东西只可意会，不可言传

这里给出一些数组的意义

• dep[]所有节点的深度

• father[]所有节点的直系father

• size[]所有以当前节点为根的子树节点个数（包括自己）

• id[]每个节点树剖后的编号

• s[]每个节点树剖后新的值，与id相对应

• son[]每个节点的重儿子

• top[]每个节点所在的重链的链的顶端

线段树就不介绍了吧

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int N=100005;
typedef long long LL;
using namespace std;
struct segtree
{
    LL add,sum;
}tree[N<<2];
struct edge
{
    int to,next;
}e[N<<1];
int n,q,root,p,a[N],head[N],cnt,dep[N],father[N],size[N],id[N],s[N],son[N],top[N],opt,x,y,z,tot;
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch=tc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=tc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=tc();
}
inline void write(LL x)
{
    if (x/10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
inline void add(int x,int y)
{
    e[++cnt].to=y; e[cnt].next=head[x]; head[x]=cnt;
}
inline void swap(int &a,int &b)
{
    int t=a; a=b; b=t;
}
inline void up(int root)
{
    tree[root].sum=(tree[root<<1].sum+tree[root<<1|1].sum)%p;
}
inline void down(int root,int l,int r)
{
    if (tree[root].add)
    {
        tree[root<<1].add=(tree[root<<1].add+tree[root].add)%p;
        tree[root<<1|1].add=(tree[root<<1|1].add+tree[root].add)%p;
        tree[root<<1].sum=(tree[root<<1].sum+tree[root].add*l)%p;
        tree[root<<1|1].sum=(tree[root<<1|1].sum+tree[root].add*r)%p;
        tree[root].add=0;
    }
}
inline void build(int root,int l,int r)
{
    if (l==r)
    {
        tree[root].sum=s[l];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(root<<1,l,mid); build(root<<1|1,mid+1,r);
    up(root);
}
inline void modify(int root,int l,int r,int beg,int end,int k)
{
    if (l>=beg&&r<=end)
    {
        tree[root].add=(tree[root].add+k)%p;
        tree[root].sum=(tree[root].sum+k*(r-l+1))%p;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    down(root,mid-l+1,r-mid);
    if (beg<=mid) modify(root<<1,l,mid,beg,end,k);
    if (end>mid) modify(root<<1|1,mid+1,r,beg,end,k);
    up(root);
}
inline LL query(int root,int l,int r,int beg,int end)
{
    if (l>=beg&&r<=end) return tree[root].sum;
    int mid=l+r>>1;
    LL res=0;
    down(root,mid-l+1,r-mid);
    if (beg<=mid) res=(res+query(root<<1,l,mid,beg,end))%p;
    if (end>mid) res=(res+query(root<<1|1,mid+1,r,beg,end))%p;
    return res;
}
inline void DFS1(int now,int fa,int d)
{
    father[now]=fa; dep[now]=d;
    size[now]=1; int res=-1;
    for (register int i=head[now];i!=-1;i=e[i].next)
    if (e[i].to!=fa)
    {
        DFS1(e[i].to,now,d+1);
        size[now]+=size[e[i].to];
        if (size[e[i].to]>res) res=size[e[i].to],son[now]=e[i].to;
    }
}
inline void DFS2(int now,int topf)
{
    id[now]=++tot; s[tot]=a[now];
    top[now]=topf;
    if (!son[now]) return;
    DFS2(son[now],topf);
    for (register int i=head[now];i!=-1;i=e[i].next)
    if (e[i].to!=father[now]&&e[i].to!=son[now]) DFS2(e[i].to,e[i].to);
}
inline void change(int x,int y,int z)
{
    while (top[x]!=top[y])
    {
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        modify(1,1,n,id[top[x]],id[x],z);
        x=father[top[x]];
    }
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    modify(1,1,n,id[y],id[x],z);
}
inline void updata(int x,int z)
{
    modify(1,1,n,id[x],id[x]+size[x]-1,z);
}
inline LL get_sec(int x,int y)
{
    LL res=0;
    while (top[x]!=top[y])
    {
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res=(res+query(1,1,n,id[top[x]],id[x]))%p;
        x=father[top[x]];
    }
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    res=(res+query(1,1,n,id[y],id[x]))%p;
    return res;
}
inline LL get_son(int x)
{
    return query(1,1,n,id[x],id[x]+size[x]-1);
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(e,-1,sizeof(e));
    read(n); read(q); read(root); read(p);
    for (i=1;i<=n;++i)
    read(a[i]);
    for (i=1;i<n;++i)
    {
        read(x); read(y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    DFS1(root,-1,0);
    DFS2(root,root);
    build(1,1,n);
    while (q--)
    {
        read(opt); read(x);
        if (opt==1) read(y),read(z),change(x,y,z%p);
        if (opt==2) read(y),write(get_sec(x,y)),putchar('
');
        if (opt==3) read(z),updata(x,z%p);
        if (opt==4) write(get_son(x)),putchar('
');
    }
    return 0;
}

树剖CODE还是比较长的

建议大家码的顺序：主程序+其他辅助函数+树剖预处理函数+线段树函数

一气呵成最重要

还有另外一道板子题Luogu P2590改一下线段树即可