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  • BZOJ1492 [NOI2007]货币兑换

    Description

    小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
    简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
    两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
    价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
    。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
     OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
    换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
    下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
    假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
    注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
    知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
    够获得多少元钱。

    Input

    输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
    K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
    0^9。
    【提示】
    1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
    2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
    每次买进操作使用完所有的人民币;
    每次卖出操作卖出所有的金券。

    Output

    只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

    Sample Input

    3 100
    1 1 1
    1 2 2
    2 2 3

    Sample Output

    225.000

    HINT

    正解:cdq分治+斜率优化

    解题报告:题目有一个提示-------必然存在一种最优的买卖方案满足:每次买进操作使用完所有的人民币;

    每次卖出操作卖出所有的金券。所以对于每次转移,我们只要从上一个能拥有的最多的金卷来更新当前,

    然后就可以得出转移方程:dp[i]=max{f[j]*a[i]+f[j]/ra[j]*b[i]},

    (因为某一天的A劵知道了,B劵就可以算出来),直接n^2转移,

    然后对于每一天拥有的人民币取MAX,然后输出

    但是n^2的复杂度显然不能通过此题,我们可以把转移方变一下,

    (f[j]+f[j]/ra[j]* (b[i]/a[i]) ) *a[i](我用的是用线表示的斜率优化,例如y=kx+b),

    然后外面乘的是只更i有关,所以我们可以默认为一个常数,然后b[i]/a[i]只跟i有关,我们可以把它当为x,

    然后里面就成为了类似kx+b的形式,然后感觉好像是可以用斜率优化,但是x与k没有单调性,

    所以我们要再套上一个cdq分治,把一个区间分为左右两个区间,首先满足左区间的点的序号小于右区间,

    然后左边维护一个凸包(左边的斜率具有单调性,具体单调递增还是递减要看题目),右边维护x单调递增,

    然后左区间序号小于然后就用左区间更新右区间,然后因为这里的cdq分治维护的三个条件后两个是分别

    套在左区间和右区间上的,所以时间复杂度O(nlogn)。

    #include <iostream>
    #include <iomanip>
    #include <cstdlib>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    #include <string>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define int long long
    #define RG register
    #define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
    const int N = 200500;
    
    using namespace std;
    
    int gi(){
    	RG char ch=getchar();RG int x=0;
    	while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    	return x;
    }
    
    double dp[N],ra[N];
    struct date{
    	double k,b,x;int t;
    	bool operator < (const date &a) const{
    		return x<a.x;
    	}
    }f[N],p[N],st[N],s[N];
    double aa[N],bb[N];
    
    inline void cdq(int l,int r){
    	if (l==r) return;
    	int mid=(l+r)>>1,p1=l-1,p2=mid,sa=1,ed=0;
    	for (RG int i=l; i<=r; ++i)
    		if (f[i].t<=mid) p[++p1]=f[i];
    		else p[++p2]=f[i];
    	for (RG int i=l; i<=r; ++i) f[i]=p[i];
    	cdq(l,mid);
    	double mx=0;
    	for (RG int i=l; i<=mid; ++i){
    		while(sa<ed && (st[ed-1].b-st[ed].b)*(f[i].k-st[ed-1].k)>=(st[ed-1].b-f[i].b)*(st[ed].k-st[ed-1].k)) --ed;
    		st[++ed]=f[i];
    		mx=max(mx,dp[f[i].t]);
    	}
    	sort(f+mid+1,f+r+1);
    	for (RG int i=mid+1; i<=r; ++i){
    		while(sa<ed && st[sa].k*f[i].x+st[sa].b<=st[sa+1].k*f[i].x+st[sa+1].b) ++sa;
    		dp[f[i].t]=max(dp[f[i].t],max(mx,(st[sa].k*f[i].x+st[sa].b)*aa[f[i].t]));
    		f[i].b=dp[f[i].t]*ra[f[i].t]/(aa[f[i].t]*ra[f[i].t]+bb[f[i].t]),f[i].k=f[i].b/ra[f[i].t];
    	}
    	cdq(mid+1,r);
    	p1=l,p2=mid+1;
    	for(int i=l;i<=r;i++) {
          if(p2>r||(p1<=mid&&f[p1].k<=f[p2].k)) p[i]=f[p1++];
          else p[i]=f[p2++];
       }
       for(int i=l;i<=r;i++) f[i]=p[i];
       return;
    }
    
    main(){
    	File("cash");
    	int n=gi(),s=gi();
    	double a,b,c;dp[0]=s;
    	for (RG int i=1; i<=n; ++i){
    		scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
    		dp[i]=s,ra[i]=c,aa[i]=a,bb[i]=b;
    		double wu=(dp[i]*ra[i])/(ra[i]*a+b);
    		f[i]=(date){wu/c,wu,b/a,i};
    	}
    	cdq(1,n);
    	printf("%.3lf",dp[n]);
    	return 0;
    }
    
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