( ext{Some Definitions})
阶
一个群(G)的阶是指其势，即其元素的个数。记做(operatorname{ord}(G))或(|G|)。
一个元素(a)的阶（或称周期）是指使得(a^m=e)的最小正整数(m)，记做(operatorname{ord}(a))或(|a|)。
若(m)不存在，则称(operatorname{ord}(a)=infty)。有限群的所有元素都有有限阶。
子群
群(<G,cdot>)中，若(Hsubseteq G)且(<H,cdot>)构成群，则称(H)是(G)的子群。
任意群(G)都有子群({e},G)，其他子群称为真子群。
生成子群
对于(G)的子集(M)，所有包含(M)的子群的交也是一个子群，称为(M)的生成子群，记做(left<M
ight>)。(M)称为(left<M
ight>)的生成集。
显然(forall ain G,operatorname{ord}(a)=operatorname{ord}(left<a
ight>))。
陪集
若(H)是(G)的子群，(forall ain G)，称(aH={ah|hin H})为子群(H)的一个左陪集，(Ha={ha|hin H})为子群(H)的一个右陪集。
设(G)中(H)的左陪集，右陪集组成的集合分别为(S_L,S_R)，可以证明映射(f:Hamapsto a^{-1}H)是(S_R)到(S_L)的双射。
指标
(G)的子群(H)的不同右陪集个数叫做(H)的指标，记做([G:H])。
置换
一个有限集(X)到(X)的一个双射称为(X)的一个置换，不妨设(X=[n])，则置换可以表示成(egin{pmatrix}1&cdots&n\a_1&cdots&a_nend{pmatrix})，其中(a)是一个排列。
定义置换合成运算：(egin{pmatrix}1&cdots&n\a_1&cdots&a_nend{pmatrix}egin{pmatrix}1&cdots&n\b_1&cdots&b_nend{pmatrix}=egin{pmatrix}a_1&cdots&a_n\b_1&cdots&b_nend{pmatrix})
对称群&置换群
(n)个元素的置换有(n!)个，易证这(n!)个置换对于置换合成构成一个群，称为(n)阶对称群，用(S_n)表示。
(X)上的对称群记做(operatorname{Sym}(X))。置换群是对称群的一个子群。
循环&对换
((a_1,cdots,a_n)=egin{pmatrix}a_1&cdots&a_{n-1}&a_n\a_2&cdots&a_n&a_1end{pmatrix})叫(n)阶循环。
(2)阶循环又叫做对换。
很显然每个置换都可以分解成若干循环。定义(c(g))表示(g)置换的最少循环数。
奇置换&偶置换
若一个置换能分解为奇数个换位，则称之为奇置换，否则称之为偶置换。
交代群
(S_n)中偶置换全体构成一个(frac{n!}2)阶的子群称为交代群，记为(A_n)。
轨道
设(G)是集合(X)上的一个置换群，对于(xin X)，定义(operatorname{orb}(x)={x^g|gin G})为(x)的轨道，轨道也记做(Gcdot x)。
在(G)下(X)中所有元素形成的轨道等价类数记做(|X/G|)。
不动点&稳定子群
若(Gcdotalpha={alpha})，那么称(alpha)为(G)下的一个不动点。
(X)中所有(G)下的不动点构成的集合称为不动点集，记做(X^G)。在某个置换(g)下的不动点集记为(X^g)。
置换群(G)中不改变元素集(A={a_1,cdots,a_m})的置换组成的子群称为(G)中(A)的稳定子群，记做(G_A)或(operatorname{stab}(A))。
( ext{Some Theorems})
Cayley定理
所有群(G)同构于(operatorname{Sym}(G))的一个子群。
定理1
设(H)为(G)的子群，对任意(H)的右陪集(Ha,Hb)，则要么(Ha=Hb)，要么(Hacap Hb=varnothing)。
Lagrange定理
([G:H]=frac{operatorname{ord}(G)}{operatorname{ord}(H)})
因此(operatorname{ord}(G)inmathbb P)的群(G)没有真子群。
轨道-稳定集定理
(operatorname{ord}(G)=operatorname{ord}(operatorname{stab}(x))operatorname{ord}(operatorname{orb}(x)))
Burnside引理
(|X/G|=frac1{operatorname{ord}(G)}sumlimits_{gin G}|X^g|=frac1{operatorname{ord}(G)}sumlimits_{xin X}operatorname{ord}(operatorname{stab}(x)))
Pólya定理
用(m)种颜色给(X)染色，我们有(|X^g|=m^{c(g)})。
由此可以得到总的染色方案数为(frac1{operatorname{ord}(G)}sumlimits_{gin G}m^{c(g)})。