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  • SA-IS

    一些准备工作

    为了防止一些分类讨论我们在(s)的末尾加一个$,假定$是最小的字符。
    (rank_i)表示(operatorname{suf}_i)的排名,(sa_i)表示排名为(i)(operatorname{suf})的起始位置。
    定义一个后缀(operatorname{suf}_i)为S型后缀当且仅当(operatorname{suf}_i<operatorname{suf}_{i+1}),否则就是L型后缀。我们认为$是S型后缀。
    定义LMS后缀为(operatorname{suf}_{i-1})为L型后缀且(operatorname{suf}_i)为S型后缀的所有(operatorname{suf}_i)
    定义LMS子串为相邻两个LMS后缀(operatorname{suf}_i,operatorname{suf}_j)间的([i,j))这部分子串。
    定义LMS前缀为从当前位置到从当前位置开始的第一个LMS型后缀这一区间构成的子串。
    我们可以得到几个trivial的小结论:
    (1.)(s_i=s_{i+1}),那么(operatorname{suf}_i,operatorname{suf}_{i+1})类型相同。
    (2.)(s_i=s_j)(operatorname{suf}_i)是S型后缀而(operatorname{suf}_j)是L型后缀,则(operatorname{suf}_j<operatorname{suf}_i)
    (3.)LMS后缀的个数不会超过(frac n2)
    (4.)LMS子串的长度总和不会超过(n)
    用左/右来表达一个(operatorname{suf})的起始位置与另一个(operatorname{suf})的起始位置在原串中的左/右关系,用前/后表达一个(operatorname{suf})和另一个(operatorname{suf})的大小关系。

    基本流程

    假如已经得到各个LMS后缀的大小关系,因为每个LMS后缀左侧的L型后缀是递增的,而右侧的S型后缀是递减的,所以可以多路归并。这种方法叫诱导排序。
    要得到LMS后缀的大小关系,可以先得到各个LMS子串的大小关系,然后进行离散化得到一个新串,再求新串的SA。而给各个LMS子串排序也是一个诱导排序。

    SAIS

    (n)是串长,(m)是字符集大小,(s)是要进行后缀排序的串,(t)用来表示每个(operatorname{suf}_i)的后缀类型(1-L,0-S),(pos)用来储存每一个LMS后缀的位置。

    void SAIS(int n,int m,int*s,int*t,int*pos)
    

    首先预处理出(t,pos)等数组,(N)表示新串的长度即LMS后缀的个数,(M)表示新串的字符集大小即本质不同的LMS子串个数,(S)表示新串,(rank)表示(operatorname{suf}_i)是第几个LMS后缀(如果不是那么就为(0))。

    int N=0,M=rank[1]=0,*S=s+n;
    t[n]=0;
    for(int i=n-1;i;--i) t[i]=s[i]^s[i+1]? s[i]>s[i+1]:t[i+1];
    for(int i=2;i<=n;++i) rank[i]=t[i-1]&&!t[i]? pos[++N]=i,N:0;
    

    接下来调用诱导排序给LMS子串排序,注意到我们只需要保证(operatorname{suf}_i)为LMS后缀的(i)位置之间的相对大小符合以其为首的LMS子串的相对大小即可。过程我们之后细讲。诱导排序完之后(sa)记录了各个排名的LMS子串的起始位置。

    IS(pos);
    

    现在我们进行离散化,从小到大枚举每个LMS子串的起始位置,注意到可能和该LMS子串相等的只有前一个LMS子串,所以我们记录下前一个LMS子串的起始位置。
    先判断该LMS子串和前一个LMS子串的长度关系,如果长度不等那就一定不相等。(实际上这只是一个效果非常好的常数优化)
    否则我们暴力判断两个LMS子串是否相等,注意如果中间某个位置的后缀类型不相等也认为这两个LMS子串不相等。
    由结论4我们知道LMS字串的长度总和不会超过(n),所以这里暴力判断的复杂度是(O(n))的。

    for(int i=1,x,y=0;i<=n;++i)
    if(x=rank[sa[i]])
    {
    	if(M<=1||pos[x+1]-pos[x]!=pos[y+1]-pos[y]) ++M;
    	else for(int a=pos[x],b=pos[y];a<=pos[x+1];++a,++b) if((s[a]<<1|t[a])^(s[b]<<1|t[b])) {++M;break;}
    	S[y=x]=M;
    }
    

    此时我们就得到了新串,递归求其SA,用(S)代替(pos)临时记录各个排名对应的LMS后缀的起始位置。(如果(N=M)那么直接基数排序求SA)

    if(M^N) SAIS(N,M,S,t+n,pos+n); else for(int i=1;i<=N;++i) sa[S[i]]=i;
    for(int i=1;i<=N;++i) S[i]=pos[sa[i]];
    

    最后再调用诱导排序求出原串的SA。

    IS(S);
    

    IS

    刚才的部分已经非常清晰了,但是我们怎样诱导排序。
    第一次是已知按下标顺序存放的所有LMS后缀的起始位置((pos)),要求所有LMS子串的排名(只保证(operatorname{suf}_i)为LMS后缀的(i)位置之间的排名的相对大小符合以其为首的LMS子串的相对大小的(sa))。
    第二次是已知按LMS后缀字典序存放的所有LMS后缀的起始位置((S)),要求所有(operatorname{suf})的排名((sa))。
    我们先考虑第二次诱导排序。
    is是一个为了方便简写的函数,然后为了减少调用我们用宏写IS。

    #define is(x,a) sa[r[s[x]]a]=x
    #define IS(S)
    

    先给原串基数排序处理出每个首字母开头的串在(sa)中对应的区间,倒序枚举LMS后缀并把它们插入(sa)中对应段的末尾。
    (这里倒序枚举是为了保证(sa)中LMS后缀的相对排名是正确的,从而在下一部分能够以正确的顺序枚举L型后缀)

    memset(sa+1,0,n<<2),memset(c+1,0,m<<2),for_each(s+1,s+n+1,[](int x){++c[x];}),partial_sum(c+1,c+m+1,c+1),memcpy(r+1,c+1,m<<2);
    for(int i=N;i;--i) is(S[i],--);
    

    然后我们需要把每个LMS后缀前面的一段L型后缀归并进来。
    因为首字母相同的L型后缀都比S型后缀(包括LMS后缀)小,所以它们肯定是占据了(sa)中对应区间的一段前缀。
    具体我们可以这样操作:从前往后扫(sa),假设当前的(sa_i=k),若(k e1)(operatorname{suf}_{k-1})是L型后缀,那么我们就把它插到当前(sa)中对应区间的最左边。
    注意到我们实质上是从小到大枚举(operatorname{suf}),而首字母相同的(operatorname{suf}_i,operatorname{suf}_j)的大小关系完全等同于(operatorname{suf}_{i+1},operatorname{suf}_{j+1}),因此以同一首字母开头的L型后缀也会从小到大被枚举到。
    (这里就很好地解释了上面为什么要倒序枚举LMS后缀)
    并且因为这是我们归并进来的都是L型后缀,都满足(operatorname{suf}_i>operatorname{suf}_{i+1}),所以在(sa)(operatorname{suf}_i)插入的位置一定在(operatorname{suf}_{i+1})后面,所以不用担心数漏。

    transform(c,c+m,r+1,[](int x){return x+1;});
    for(int i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>1&&t[sa[i]-1]) is(sa[i]-1,++);
    

    然后再把S型后缀按照和上面完全一样的办法归并进来。
    从后往前扫(sa),假设当前的(sa_i=k),若(k e1)(operatorname{suf}_{k-1})是S型后缀,那么我们就把它插到当前(sa)(operatorname{suf}_{k-1})对应区间的最右边。
    具体的正确性证明参考L型后缀的部分。
    注意到我们一开始LMS后缀插的位置并不正确,所以此时要重新排序。
    (LMS后缀自身也是S型后缀,所以会在此时被排序,因此一开始放在后面就能不影响L型后缀的排序)

    memcpy(r+1,c+1,m<<2);
    for(int i=n;i;--i) if(sa[i]>1&&!t[sa[i]-1]) is(sa[i]-1,--);
    

    现在我们已经完成了第二次诱导排序,接下来考虑第一次诱导排序。
    第一次诱导排序是已知按下标顺序排列的所有LMS子串的初始位置,要求LMS子串的相对大小关系。
    我现在告诉你只要IS(pos)就好了,没有任何其它的问题。
    我们再观察一遍第二次诱导排序的过程,大概的流程是:倒序插入LMS后缀,给L型后缀排序,给S型后缀排序。
    因为我们插LMS后缀的顺序可能不对,所以L型后缀可能不能正确地排序。
    但如果我们把插入的东西看成LMS前缀的话,那么就是在从大到小插入LMS前缀(此时都只有一个字符)。
    然后对于后面的步骤,可以用和上面类似的方法证明我们是在给LMS前缀排序。
    那么我们就可以根据LMS前缀的排名来计算LMS子串的排名了。
    但是实际上有更简便的途径:LMS子串的初始位置对应的LMS前缀都是按LMS子串的大小排好的。
    证明:
    对于首字母不相同的LMS子串显然成立。
    对于首字母不同的LMS子串对应的LMS前缀,它们都是由一个左边的一个S型后缀对应的LMS前缀转移过来的,再依次类推可以得到它们都是有右边的第一个L型后缀对应的LMS前缀转移过来的,其实这个2过程就是比较了各个LMS字串的大小。因此命题成立。

    Tips:

    注意(sa)的第一个是$,所以要整体前移一位。(rank)的话直接由(sa)推就好了。

    Code

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<bitset>
    #include<algorithm>
    #include<numeric>
    using std::partial_sum;
    using std::transform;
    using std::for_each;
    namespace IO
    {
        char obuf[(1<<21)+1],st[11],*oS=obuf,*oT=obuf+(1<<21);
        void Flush(){fwrite(obuf,1,oS-obuf,stdout),oS=obuf;}
        void Put(char x){*oS++=x;if(oS==oT)Flush();}
        void write(int x){int top=0;if(!x)Put('0');while(x)st[++top]=(x%10)+48,x/=10;while(top)Put(st[top--]);Put(' ');}
    }using namespace IO;
    const int N=1000007;
    char str[N+10];int sa[N],rank[N],h[N],s[N<<1],t[N<<1],pos[N<<1],r[N>>1],c[N>>1];
    #define is(x,a) sa[r[s[x]]a]=x
    #define IS(S)
        memset(sa+1,0,n<<2),memset(c+1,0,m<<2),for_each(s+1,s+n+1,[](int x){++c[x];}),partial_sum(c+1,c+m+1,c+1),memcpy(r+1,c+1,m<<2);
        for(int i=N;i;--i) is(S[i],--);
        transform(c,c+m,r+1,[](int x){return x+1;});
        for(int i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>1&&t[sa[i]-1]) is(sa[i]-1,++);
        memcpy(r+1,c+1,m<<2);
        for(int i=n;i;--i) if(sa[i]>1&&!t[sa[i]-1]) is(sa[i]-1,--);
    void SAIS(int n,int m,int*s,int*t,int*pos)
    {
        int N=0,M=rank[1]=0,*S=s+n;
        t[n]=0;
        for(int i=n-1;i;--i) t[i]=s[i]^s[i+1]? s[i]>s[i+1]:t[i+1];
        for(int i=2;i<=n;++i) rank[i]=t[i-1]&&!t[i]? pos[++N]=i,N:0;
        IS(pos);
        for(int i=1,x,y=0;i<=n;++i)
    	if((x=rank[sa[i]]))
    	{
    	    if(M<=1||pos[x+1]-pos[x]!=pos[y+1]-pos[y]) ++M;
    	    else for(int a=pos[x],b=pos[y];a<=pos[x+1];++a,++b) if((s[a]<<1|t[a])^(s[b]<<1|t[b])) {++M;break;}
    	    S[y=x]=M;
    	}
        if(M^N) SAIS(N,M,S,t+n,pos+n); else for(int i=1;i<=N;++i) sa[S[i]]=i;
        for(int i=1;i<=N;++i) S[i]=pos[sa[i]];
        IS(S);
    }
    int main()
    {
        int n;
        fread(str+1,1,1000000,stdin),n=strlen(str+1);
        while(!isalpha(str[n])) --n;
        transform(str+1,str+n+1,s+1,[](char c){return c-'a'+2;}),s[++n]=1,SAIS(n--,27,s,t,pos);
        for(int i=1;i<=n;++i) rank[sa[i]=sa[i+1]]=i;
        for(int i=1,j,l=0;i<=n;h[rank[i++]]=l) for(j=sa[~-rank[i]],l-=l>0;i+l<=n&&j+l<=n&&s[i+l]==s[j+l];++l);
        for_each(sa+1,sa+n+1,[](int x){write(x);}),Put('
    '),for_each(h+2,h+n+1,[](int x){write(x);}),Flush();
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12181155.html
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