(mathbb Z[i]={x+iy|x,yinmathbb Z})
很显然(mathbb Z[i])对复数加法、乘法构成一个唯一分解整环。
带余除法
给定(a,b)，求(p,q)使得(a=bp+qwedge operatorname{norm}(q)lefrac{operatorname{norm}}2)。
若(x+iy=frac ab)，则(p=(n,m))满足(nin[x-frac12,x+frac12),min[y-frac12,y+frac12))。
素性
考虑(z=x+iy)的素性。
(1.)若(xy=0)，则(zinmathbb P[i]Leftrightarrowoperatorname{norm}(z)|inmathbb Pwedgeoperatorname{norm}(z)
otequiv1pmod4)。
(2.)若(xy
e0)，则(zinmathbb P[i]Leftrightarrowoperatorname{norm}(z)inmathbb P)。
质因数分解
(zinmathbb Z[i])有唯一分解(z=i^E(1+i)^{e_0}prod p_i^{e_i}(Ein[0,4)))。
（一般我们钦定(p_iequiv1pmod{2+2i})或者(2|Im(p_i))，实际上这是小问题）
考虑直接对(operatorname{norm}(z))分解质因数，对于(p^e|operatorname{norm}(z)):
(1.)若(p=2)，则((1+i)^e|z)。
(2.)若(pequiv3pmod4)，我们知道(4k+3)不是完全平方数，也不可能拆成两个完全平方数的和，因此此时一定有(2|e)，即(p^{frac e2}|z)。
(3.)若(pequiv1pmod4)，找到(q)使得(q^2equiv-1pmod p)，则(p|operatorname{norm}(q+i)wedge p|operatorname{norm}(p))，因此(operatorname{norm}(gcd(q+i,p))=p)，即(gcd(q+i,p)^e|z)。
最后调整使得(p_i)满足形式的限制，再求出(E)即可。