划分关系
姑且这么叫着
设满足性质 (A) 的集合为 (S_A)，每个元素有标号
如果 (S_B) 是由若干个 (S_A) 组成的一个大集合
设 (a_i) 表示大小为 (i) 的 (S_A) 的个数
设 (b_i) 表示大小为 (i) 的 (S_B) 的个数
构造指数级生成函数
[A(x)=sum_{i=0}^{infty}a_ifrac{x^i}{i!}
]
[B(x)=sum_{i=0}^{infty}b_ifrac{x^i}{i!}
]
(A) 和 (B) 有如下关系
(e^{A(x)}=B(x))
考虑枚举 (S_B) 可以分成几个 (S_A)，因为是有序的，那么
[B(x)=sum_ifrac{A^i(x)}{i!}=e^{A(x)}
]
一些例子
1
设 (f_i) 表示不要求连通的 (i) 个点 的 (DAG) 的方案数
设 (g_i) 表示连通的 (i) 个点 的 (DAG) 的方案数
构造指数级生成函数
[F(x)=sum_{i=0}^{infty}f_ifrac{x^i}{i!}
]
[G(x)=sum_{i=0}^{infty}g_ifrac{x^i}{i!}
]
那么
[F(x)=e^{G(x)},G(x)=ln F(x)
]
2
设 (f_i) 表示 (i) 个点 的简单无向连通图的方案数
简单无向图的指数级生成函数
[G(x)=sum_{i=0}^{infty}2^{inom{i}{2}}frac{x^i}{i!}
]
简单无向连通图的指数级生成函数
[F(x)=sum_{i=0}^{infty}f_ifrac{x^i}{i!}
]
[G(x)=e^{F(x)}, F(x)=ln G(x)
]