高代瞎证

突然想更博。。

循环矩阵

循环矩阵长成这样

[A = egin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & cdots & a_{n-1} \ a_{n-1} & a_0 & a_1 & cdots & a_{n-2} \ a_{n-2} & a_{n-1} & a_0 & cdots & a_{n-3} \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_1 & a_2 & a_3 & cdots & a_0 end{pmatrix} ]

假设我们要求 (|A|)

设多项式 (f(x) = a_0 + a_1x + cdots + a_{n-1}x^{n-1})

设 (omega_k = e^{2kpi i/n})，为 (n) 次单位复数根

那么结论是 (|A|=prod_{k=0}^{n-1}f(omega_k))

proof:

设

[W = egin{pmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 \ omega_0 & omega_1 & cdots & omega_{n-1} \ omega_0^2 & omega_1^2 & cdots & omega_{n-1}^2 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ omega_0^{n-1} & omega_1^{n-1} & cdots & omega_{n-1}^{n-1} \ end{pmatrix} ]

那么

[AW = egin{pmatrix} f(omega_0) & f(omega_1) & cdots & f(omega_{n-1}) \ omega_0f(omega_0) & omega_1f(omega_1) & cdots & omega_{n-1}f(omega_{n-1}) \ vdots & vdots & ddots & vdots \ omega_0^{n-1}f(omega_0) & omega_1^{n-1}f(omega_1) & cdots & omega_{n-1}^{n-1}f(omega_{n-1}) \ end{pmatrix} ]

(因为 (omega_k^n=1))

所以

(|AW|=|W|prod_{k=0}^{n-1}f(omega_k))

由 (vandemonde)，(|W| e 0)，所以 (|A| = prod_{k=0}^{n-1}f(omega_k))

(然后就可以 (FFT) 求了)

复数域多项式的基

设 (nge 1), (V=mathbb{C}_{n}[x]={a_0+a_1x+cdots+a_nx^n|a_0,a_1,cdots,a_nin mathbb{C}})

那么任意 (c_0,c_1,cdots,c_n in mathbb{C}) 互不相同，则

({f_i = (x-c_0)cdots(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})cdots(x-c_n)|i=0,1,cdots,n}) 为 (V) 的基，证明略

令 (c_s = epsilon^{s},s=0,1,cdots,n,epsilon = e^{2pi i/(n+1)}) 求 ({1,x,x^2,cdots,x^n}) 到 ({f_0,cdots,f_n}) 的过渡矩阵

solve:

对于任意 (0 le i le n)，有 (forall 0 le j le n,j e i,f_i(epsilon_j) = 0)

设 (g_i(x) = sum_{k = 0}^{n}epsilon_{i}^{-k}x^k)

观察到 (forall 0 le j le n,j e i)

[g_i(epsilon_j) = frac{1-e^{2pi(j-i)}}{1-e^{2pi(j-i)/(n+1)}}=0 ]

并且 (g_i(epsilon_i) = n+1)

下证 (g_i(x) = epsilon_{i}^{-n}f_i(x))

首先 (g_i(x)) 和 (epsilon_{i}^{-n}f_i(x)) 最高次项系数相同

由代数基本定理 (g_i(x)) 和 (epsilon_{i}^{-n}f_i(x)) 必有 (n) 个复根，我们已经证明二者根相同

设 (h(x) = g_i(x) - epsilon_{i}^{-n}f_i(x)) ，那么 (h(x)) 最高次项小于 (n)，也有 (n) 个复根

那么如果 (h(x) e 0) 就与代数基本定理矛盾，所以 (h(x) = 0) 即 (g_i(x) = epsilon_{i}^{-n}f_i(x))，那么 (f_i(x) = sum_{k = 0}^{n}epsilon_{i}^{n-k}x^k)

所以过渡矩阵为

( egin{pmatrix} epsilon_{0}^{n} & epsilon_{1}^{n} & cdots & epsilon_{n}^{n} \ epsilon_{0}^{n-1} & epsilon_{1}^{n-1} & cdots & epsilon_{n}^{n-1} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 1 & 1 & cdots & 1 \ end{pmatrix} )