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有(没)什么用？

求解积性函数 (F) 的前缀和

[sum_{i=1}^{n}F(i) ]

做法

首先假设 (F(i)=i^k)
设 (P_i) 为从小到大的第 (j) 个质数
设 (g(x,j))

(g(x,j)=sum_{i=1}^{x}[i)为质数或最小质因子(> P_j]F(i))
(g(x,0)) 不包括 (f(1)) 的贡献

求解 (g)

若 (P_j^2 > x)，则不存在 (x) 以内的合数的最小质因子大于 (P_j)

那么 (g(x,j)=g(x,j-1))

否则，(P_j^2 le x)，考虑从 (g(x,j-1)) 推过来

显然 (g(x,j-1)) 中多了最小质因子为 (P_j) 的那些合数的贡献，设为 (R)

设这些合数为 (tP_j)，贡献即 (t^kP_j^k)

要满足这些合数的最小质因子为 (P_j)，(t) 要满足最小质因子 (ge P_j)

提出 (P_j^k) ，所以 (R=(g(frac{x}{P_j},j-1)-)小于 (P_j) 的质数的贡献()P_j^k)

也就是 (R=P_j^k(g(frac{x}{P_j},j-1)-g(P_{j-1}, j-1)))

(因为 (P_{j-1}) 以内为质数或最小质因子 (> P_{j-1}) 的只有质数)

总结一下就是

[g(x, j) = egin{cases} g(x,j-1), P_j^2 > x\ g(x,j-1)-P_j^k(g(frac{x}{P_j},j-1)-g(P_{j-1}, j-1)), P_j^2 le x\ end{cases}\ ]

求解前缀和

设 (h(x)=sum_{i=2}^{x}[i) 为质数 (]F(i))

假设 (a_x) 为 (P_{a_x} le x) 的最大的数

那么 (h(x) = g(x, a_{sqrt x}))

再设 (S(n,j)=sum_{i=1}^{n}[i)的最小质因子(ge P_j]F(i))

(S(n,0)) 不包括 (f(1)) 的贡献

分成两个部分计算

1. (i) 为质数，贡献即为 (h(n)-h(P_{j-1}))

2. (i) 为合数：

枚举最小质因子 (P_k) 及其的指数 (e) (这里的 (k) 和 (F(i)=i^k) 不是一个)

贡献为

[sum_{kge j}sum_{e}^{P_k^{e+1} le n}(F(P_k^e)S(frac{n}{p_k^e},k+1)+F(P_k^{e+1})) ]

首先积性函数的性质有前面的一部分

[sum_{kge j}sum_{e=1}^{P_k^{e+1} le n}F(P_k^e)S(frac{n}{p_k^e},k+1) ]

而这样就没有算到 (F(P_k^e)) 的贡献，加回来即可

答案就是 (S(n,1)+F(1))