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  • 整数划分问题

    将正整数n表示成一系列正整数之和:
    n=n1+n2+…+nk,其中n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1。
    求正整数n的不同划分个数。

    例如正整数6有如下11种不同的划分:
        6;
        5+1;
        4+2,4+1+1;
        3+3,3+2+1,3+1+1+1;
        2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
        1+1+1+1+1+1。

    问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。
    如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    //增加一个自变量m,表示n的最大加数小于等于m
    int changeToAddtion(int n,int m)
    {
        if(n < 1 || m < 1)                //此时不是正整数,返回0
        {
            return 0;
        }
        if(n == 1 || m == 1)           //1的划分只有1中情况 即 1 = 1
        {
            return 1;
        }
        if(n < m)                             //m不可能大于n,m最大也就是n
        {
            return changeToAddtion(n,n);
        }
        if(n == m)                            //此时是把n分为 n = n 和最大加数小于n的其他情况
        {
            return 1 + changeToAddtion(n,n-1);
        }
        //n和m不等时,变换为 n = m + ..... 和 n 的最大加数小于m的其他情况
        return changeToAddtion(n,m-1) + changeToAddtion(n-m,m);
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        while(cin >> n)
        {
            cout << n << "的划分个数为 " << changeToAddtion(n,n) << endl;
        }
        return 0;
    }
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