带修莫队学习笔记

序言

写的有点草率，算是给自己加深一下印象吧 ...

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带修莫队

考虑到莫队是 按询问排序 ，而修改操作是死死地 按时间轴进行 的，固然不能将 询问 和 修改 一视同仁。

我们仔细想想 " 修改操作按时间轴进行 " 这句话。

我们是不是可以在普通莫队的基础上，强行加上一个时间因素呢？

视每个询问操作为一个三元组 ((l,r,t)) ：经过前 (t) 次修改后，询问区间 ([l,r]) ... （询问的东东）。

我们发现 ((l,r,t)) 的 (t) 这一维，也可以像 (l,r) 这些维一样扩展，使 ((l,r,t)) 扩展一步，一共有六种扩展方式：

• ((l,r,t)->(l-1,r,t))
• ((l,r,t)->(l+1,r,t))
• ((l,r,t)->(l,r-1,t))
• ((l,r,t)->(l,r+1,t))
• ((l,r,t)->(l,r,t-1))
• ((l,r,t)->(l,r,t+1))

对于 (t) 这一维的扩展，每次扩展，我们都要考虑操作的贡献：若是 (t) 变大了，则需要加上新操作对答案的贡献；若 (t) 变小了，则需要考虑扣除旧操作对答案的贡献。

以 (t) 变大为例，具体的，若当前修改操作对应的修改点为 (x) ，修改值为 (v) 。

若 (l leq x leq r) ，则表示 (x) 点原先的值 (A_x) 对答案有过贡献，需要先扣除 (A_x) 对答案的贡献，然后再考虑加上 (v) 对答案的贡献；否则表示 (x) 点原先的值对答案没有贡献，直接在序列上修改一下 (A_x) 即可。转移同样是 (mathcal{O(1)}) 。

(t) 变小同理。

带修莫队的分块方式是以 (n^{frac{2}{3}}) 为一块，分成了 (n^{frac{1}{3}}) 个块。

三元组 ((l,r,t)) 排序的第一关键字为 " (l) 所在的块 "，第二关键字为 " (r) 所在的块 "，第三关键字为 " (t) " 。

时间复杂度 (mathcal{O(n^{frac{5}{3}})}) 。

证明咕咕咕 ...

【模板】带修莫队

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结语

写的真的很草率，神仙不要 D 我 qwq 。