题解【CF1312C Adding Powers】

[ exttt{Description} ]

给一个长度为 (n) 的数列 (a) 和一个全零序列 (v) ，以及一个正整数 (k) 。

第 (i) 秒可以选择任意一个位置 (pos) ，使得 (v_{pos}) 加上 (k^i) ，或是什么都不做。

问能否在若干秒后，对于 (forall i) 都有 (v_i=a_i) 。

[ exttt{Solution} ]

• 其实可以把问题转化为：第 (i) 秒可以选择任意一个位置 (pos) ，使得 (a_{pos}) 减去 (k^i) ，或是什么都不做。问能在否在若干秒后，(a) 变成全零序列。
• 有一个显然的性质：对于任意正整数 (x) ，将 (x) 化成 (k) 进制，设 (x) 的 (k) 进制表示下的第 (i) 位为 (b_i) ，则若要将 (x) 变为 (0) ，则需要减去 (b_0) 个 (k^0) ，(b_1) 个 (k^1) ，(b_2) 个 (k^2) ...
• 注意到，对于每个 (k^i) ，至多只能将其使用一次（只能减去一个 (k^i) ）.
• 于是就有一个显然的做法了：开个桶 cnt[i] 表示 " 数列 (a) 的 (k) 进制表示下第 (i) 位的和 " ，处理完这个桶后扫一遍，若 (exists i) 满足 (cnt_i > 1) ，则答案为 NO ；否则为 YES 。

[ exttt{Code} ]

#include<cstdio>
#include<cstring>

#define RI register int

using namespace std;

const int N=31;

int T;

int n; long long k;

long long a[N];

int cnt[61];

void work()
{
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));

	scanf("%d%lld",&n,&k);

	for(RI i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);

	for(RI i=1;i<=n;i++)
		for(RI j=0;a[i];j++,a[i]/=k)
			cnt[j]+=a[i]%k;

	for(RI i=0;i<=60;i++)
		if(cnt[i]>1)
		{
			puts("NO");
			return;
		}

	puts("YES");
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);

	while(T--)    work(); 

	return 0;
}

[ exttt{Thanks} exttt{for} exttt{watching} ]