【LOJ#6374】网格（二项式反演，容斥）

【LOJ#6374】网格（二项式反演，容斥）

题面

LOJ
要从((0,0))走到((T_x,T_y))，每次走的都是一个向量((x,y))，要求(0le xle M_x,0le yle M_y)，并且不能不走。同时有(k)个限制，表示不能同时(x=y=k_i)，保证所有(k_i)都是(G)的倍数。求恰好跳了(R)步到达的方案数。

题解

如果不存在不能走的点的限制，那么两维可以分开考虑。比如接下来只考虑(x)上的问题。
因为存在步长的限制，所以设(g(i))表示至少有(i)步超过了步长限制的方案数。
那么可以得到：

[g(i)={Rchoose i}{T_x-i*(M_x+1)+R-1choose R-1} ]

即将超过限制的步数直接走(M_x+1)步，那么剩下随意分配即可。
那么答案就可以容斥得到

[Ans=sum_{i=0}^R (-1)^ig(i) ]

这个样子如果是在数轴上走显然是正确的，然而在本题中，要求了两维不能同时不走。意味着这个算出来的(Ans_x*Ans_y)实际上是至多走了(R)步的答案。
那么令(g(i))表示至多走(i)步的答案，(f(i))表示恰好走了(i)步的答案。
那么就可以得到：$$g(R)=Ans_x*Ans_y=sum_{i=0}^R{Rchoose i}f(i)$$
二项式反演之后得到：

[f(R)=sum_{i=0}^R(-1)^{R-i}{Rchoose i}g(i) ]

这样子就解决了没有额外限制的情况，时间复杂度为(O(R^2))。

考虑存在额外限制的情况，设(g(i))表示至少违反了(i)条规则的方案数，(f(i))表示恰好。
那么有$$f(0)=sum_{i=0}^R(-1)^ig(i)$$
考虑如何计算(g(i))，那么记录(S(x,s))表示一共违反了(x)条规则，并且他们的步数和为(s)的方案数，显然(s=kG)，所以只需要记录除(G)后的结果。而除(G)后最多不会超过(100)。对于每个(S(x,s))，显然一共走了(s*G)步，所以剩下的随意走就可以用来更新(g)。
也就是$$g(i)=sum_{j}S(i,j)Calc(T_x-jG,T_y-jG,M_x,M_y,R-i){Rchoose i}$$
最后直接计算(f(0))即可。
时间复杂度(O(???))，分析不清了，然而跑得飞快。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 1100100
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int ans;
int Tx,Ty,Mx,My,R,G,N,NN,K,lim[55];
int jc[MAX],inv[MAX],jv[MAX];
int C(int n,int m){if(n<m||n<0||m<0)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int Calc(int T,int M,int R)
{
	int ret=0;
	for(int i=0,d=1;i<=R;++i,d=MOD-d)
		if(T+R-1-i*(M+1)>=R-1)
			add(ret,1ll*d*C(R,i)%MOD*C(T+R-1-i*(M+1),R-1)%MOD);
		else break;
	return ret;
}
int Calc(int Tx,int Ty,int Mx,int My,int R)
{
	int ans=0;
	for(int i=0,d=(R&1)?MOD-1:1;i<=R;++i,d=MOD-d)
		add(ans,1ll*d*C(R,i)%MOD*Calc(Tx,Mx,i)%MOD*Calc(Ty,My,i)%MOD);
	return ans;
}
int S[120][120],g[120];
int main()
{
	Tx=read(),Ty=read();Mx=read();My=read();R=read();G=read();
	K=read();N=max(Tx,Ty)+R;NN=min(Tx,Ty)/G;
	for(int i=1;i<=K;++i)lim[i]=read()/G;
	sort(&lim[1],&lim[K+1]);K=unique(&lim[1],&lim[K+1])-lim-1;
	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=N;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=N;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=N;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=R&&i<=NN;++i)
		for(int k=1;k<=K;++k)
			for(int j=0;j+lim[k]<=NN;++j)
				add(S[i][j+lim[k]],S[i-1][j]);
	for(int i=0;i<=R&&i<=NN;++i)
		for(int j=0;j<=NN;++j)
			if(S[i][j])add(g[i],1ll*S[i][j]*Calc(Tx-j*G,Ty-j*G,Mx,My,R-i)%MOD*C(R,i)%MOD);
	for(int i=0,d=1;i<=R&&i<=NN;++i,d=MOD-d)add(ans,1ll*d*g[i]%MOD);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}