【BZOJ5292】[BJOI2018]治疗之雨（高斯消元）
题面
题解
设(f[i])表示剩余(i)点生命时的期望死亡的次数。
考虑打(k)次下来脸上被打了(i)下的概率：(displaystyle frac{{kchoose i}m^{k-i}}{(m+1)^k})。
(m=0)时全部打脸上了，直接判掉。
设(P[i][j])表示(i)点血量奶完后再被打一轮下来变成(j)点血的概率，这个很容易算出来。
那么我们可以列出和(f[i])相关的(n+1)个方程。
比如说：
[egin{cases}
f[0]=0\
f[1]=P[1][0]*f[0]+P[1][1]*f[1]+P[1][2]*f[2]+1\
...\
f[n]=P[n][0]*f[0]+P[n][1]*f[1]+P[n][2]*f[2]+...+P[n][n]*f[n]+1
end{cases}]
考虑怎么解这个玩意，首先肯定可以高斯消元三方解决。
这个矩阵观察后发现类似于一个下三角矩阵，那么每次用第(i)行消掉(i-1)行，这样子就是一个下三角了，然后从上往下就可以直接求解。
还有一种方法就是移项后不难发现(f[1])只和(f[2])相关，因此可以设(f[1]=x)，这样子其他所有数都可以通过(x)给表示出来，最后带到(f[n])的方程里就可以解出(x)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 1600
#define MOD 1000000007
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int n,p,m,k;
int P[MAX],a[MAX][MAX];
int A[MAX],B[MAX];
int main()
{
int T=read();
while(T--)
{
n=read();p=read();m=read();k=read();
if(!k){puts("-1");continue;}
if(m==0)
{
int cnt=0;if(k==1){puts("-1");continue;}
while(p>0)++cnt,p=min(n,p+1)-k;
printf("%d
",cnt);continue;
}
for(int i=0;i<=n;++i)P[i]=0;
int invm1=fpow(m+1,MOD-2);P[0]=1;
for(int i=1;i<n&&i<=k;++i)P[i]=1ll*P[i-1]*fpow(i,MOD-2)%MOD*(k-i+1)%MOD;
for(int i=0;i<n&&i<=k;++i)P[i]=1ll*P[i]*fpow(m,k-i)%MOD*fpow(fpow(m+1,k),MOD-2)%MOD;
if(k>=n){P[n]=1;for(int i=0;i<n;++i)P[n]=(P[n]+MOD-P[i])%MOD;}
for(int i=0;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=n;++j)a[i][j]=0;
for(int i=1;i<n;++i)
for(int j=1;j<=i+1;++j)
add(a[i][j],(1ll*invm1*P[i-j+1]+1ll*m*invm1%MOD*P[i-j])%MOD);
for(int i=1;i<=n;++i)add(a[n][i],P[n-i]);
for(int i=0;i<=n;++i)A[i]=B[i]=0;
A[1]=1;B[1]=0;
for(int i=1;i<n;++i)
{
int sa=A[i],sb=(MOD-1+B[i])%MOD;
for(int j=1;j<=i;++j)sa=(sa+MOD-1ll*a[i][j]*A[j]%MOD)%MOD;
for(int j=1;j<=i;++j)sb=(sb+MOD-1ll*a[i][j]*B[j]%MOD)%MOD;
int v=fpow(a[i][i+1],MOD-2);
A[i+1]=1ll*sa*v%MOD;B[i+1]=1ll*sb*v%MOD;
}
int sa=A[n],sb=(MOD-B[n]+1)%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)sa=(sa+MOD-1ll*a[n][i]*A[i]%MOD)%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)sb=(sb+1ll*a[n][i]*B[i])%MOD;
int x=1ll*sb*fpow(sa,MOD-2)%MOD;
int ans=(1ll*A[p]*x+B[p])%MOD;
printf("%d
",ans);
continue;
}
}