【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数）
题面
题解
设(f_{i,j})表示(i)轮之后这个数恰好为(j)的概率。
得到转移：(displaystyle f_{i,j}=sum_{k=j}^{n}f_{i-1,k}*frac{1}{k+1})。
看成生成函数就有(displaystyle F_i(x)=sum_{j=0}^{n}x^jsum_{kge j}frac{f_{i-1,k}}{k+1})。
把两维换过来就是(displaystyle sum_{k=0}^{n}frac{f_{i-1,k}}{k+1}sum_{j=0}^k x^j=sum_{k=0}^nfrac{f_{i-1,k}}{k+1}frac{x^{k+1}-1}{x-1}=frac{1}{x-1}sum_{k=0}^nfrac{f_{i-1,k}}{k+1}(x^{k+1}-1))。
而(frac{1}{k+1})这个东西非常让人不爽，恰好发现后面有(x^{k+1}，那么我们求导再积分)
(displaystyle F_i(x)=frac{1}{x-1}int_{1}^x sum_{k=0}^n f_{i-1,k}t^kdt=frac{1}{x-1}int_{1}^xF_{i-1}(t)dt)
令(displaystyle G_i(x)=F_{i}(x+1)=frac{1}{x}int_{1}^{x+1}F_{i-1}(t)dt)。
进一步有：(displaystyle G_i(x)=frac{1}{x}int_{0}^xG_{i-1}(t)dt=sum_{j}frac{g_{i-1,j}}{j+1}x^j)。
那么，再把(G(x))拆开，我们可以得到：(g_{i,j}=frac{g_{i-1,j}}{j+1})，所以可以知道(g_{m,j}=frac{g_{0,j}}{(j+1)^m})。
然后考虑(g)怎么求。
有：(displaystyle sum_{i}g_ix^i=sum_{i}f_i(x+1)^i=sum_{i}f_isum_{j}{ichoose j}x^j)，
所以有(displaystyle g_i=sum_{jge i}{jchoose i}f_j)，二项式反演有(displaystyle f_i=sum_{jge i}(-1)^{j-i}{jchoose i}g_j)
那么先用(f_{0,j})求出(g_{0,j})，乘上(frac{1}{(j-1)^m})之后再卷积算回去就行了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
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#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 998244353
#define MAX 280280
inline ll read()
{
ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int W[MAX],r[MAX];
void NTT(int *P,int len,int opt)
{
int l=0,N;for(N=1;N<len;N<<=1)++l;
for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
for(int i=1;i<N;i<<=1)
{
int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
for(int k=0;k<i;++k)
{
int X=P[j+k],Y=1ll*P[i+j+k]*W[k]%MOD;
P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
}
}
if(opt==-1)
{
reverse(&P[1],&P[N]);
for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
}
}
int n,m,a[MAX],b[MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int main()
{
n=read();m=read()%(MOD-1);int N;for(N=1;N<=n+n;N<<=1);
for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=read();
jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n+1;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=n+1;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
for(int i=1;i<=n+1;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*jc[i]%MOD,b[i]=jv[i];
reverse(&a[0],&a[n+1]);
NTT(a,N,1);NTT(b,N,1);
for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
NTT(a,N,-1);
for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*fpow(inv[n-i+1],m)%MOD*((i&1)?MOD-1:1)%MOD;
for(int i=n+1;i<N;++i)a[i]=0;
NTT(a,N,1);
for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
NTT(a,N,-1);
for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*((i&1)?MOD-1:1)%MOD*jv[n-i]%MOD;
reverse(&a[0],&a[n+1]);
for(int i=0;i<=n;++i)printf("%d ",a[i]);puts("");
return 0;
}